Trigonométrie Exemples

$2 \cos^{2} (2 x) = 1$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $2 \cos^{2} (2 x) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos^{2} (2 x) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (2 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos^{2} (2 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $\cos^{2} (2 x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (2 x) = \frac{1}{2}$

Étape 2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\cos (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 3.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6

Résolvez $x$ dans $\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 6.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$2 x = \frac{π}{4}$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{4}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{4}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 6.3.3.2

Multipliez $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Étape 6.3.3.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{π}{8}$

Étape 6.4

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 6.5

Résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Simplifiez

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Étape 6.5.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 6.5.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 6.5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 6.5.1.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$2 x = \frac{8 π - π}{4}$

Étape 6.5.1.5

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$2 x = \frac{7 π}{4}$

Étape 6.5.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{7 π}{4}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{7 π}{4}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Étape 6.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 6.5.2.3.2

Multipliez $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.5.2.3.2.1

Multipliez $\frac{7 π}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 2}$

Étape 6.5.2.3.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{7 π}{8}$

Étape 6.6

Déterminez la période de $\cos (2 x)$ .

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Étape 6.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.6.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 6.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 6.6.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 6.7

La période de la fonction $\cos (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Résolvez $x$ dans $\cos (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 7.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{3 π}{4}$ .

$2 x = \frac{3 π}{4}$

Étape 7.3

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{4}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{4}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Étape 7.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Étape 7.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Étape 7.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 7.3.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 7.3.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

Étape 7.3.3.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Étape 7.4

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$2 x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Étape 7.5

Résolvez $x$ .

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Étape 7.5.1

Simplifiez

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Étape 7.5.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 7.5.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 7.5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Étape 7.5.1.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$2 x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Étape 7.5.1.5

Soustrayez $3 π$ de $8 π$ .

$2 x = \frac{5 π}{4}$

Étape 7.5.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 π}{4}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 π}{4}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Étape 7.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Étape 7.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Étape 7.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 7.5.2.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Étape 7.5.2.3.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Étape 7.6

Déterminez la période de $\cos (2 x)$ .

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Étape 7.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.6.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 7.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 7.6.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 7.7

La période de la fonction $\cos (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n, \frac{3 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{4}$ , pour tout entier $n$