Trigonométrie Exemples

$2 \log_{3} (x) - \log_{3} (4) = \log_{3} (16)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \log_{3} (x) - \log_{3} (4) - \log_{3} (16) = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $2 \log_{3} (x) - \log_{3} (4) - \log_{3} (16)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez $2 \log_{3} (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{3} (x^{2}) - \log_{3} (4) - \log_{3} (16) = 0$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2}}{4}) - \log_{3} (16) = 0$

Étape 2.1.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{\frac{x^{2}}{4}}{16}) = 0$

Étape 2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\log_{3} (\frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{16}) = 0$

Étape 2.1.5

Associez.

$\log_{3} (\frac{x^{2} \cdot 1}{4 \cdot 16}) = 0$

Étape 2.1.6

Multipliez.

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Étape 2.1.6.1

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2}}{4 \cdot 16}) = 0$

Étape 2.1.6.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2}}{64}) = 0$

Étape 3

Réécrivez $\log_{3} (\frac{x^{2}}{64}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{0} = \frac{x^{2}}{64}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x^{2}}{64} = 3^{0}$ .

$\frac{x^{2}}{64} = 3^{0}$

Étape 4.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $64$ .

$64 \frac{x^{2}}{64} = 64 \cdot 3^{0}$

Étape 4.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.1.1

Annulez le facteur commun de $64$ .

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Étape 4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$64 \frac{x^{2}}{64} = 64 \cdot 3^{0}$

Étape 4.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = 64 \cdot 3^{0}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez $64 \cdot 3^{0}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{2} = 64 \cdot 1$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $64$ par $1$ .

$x^{2} = 64$

Étape 4.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{64}$

Étape 4.5

Simplifiez $\pm \sqrt{64}$ .

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Étape 4.5.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Étape 4.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 8$

Étape 4.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 8$

Étape 4.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 8$

Étape 4.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 8, - 8$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 \log_{3} (x) - \log_{3} (4) = \log_{3} (16)$ vrai.

$x = 8$