Trigonométrie Exemples

$2 \cot^{2} (x) + 3 \csc (x) = 0$

Étape 1

Remplacez le $2 \cot^{2} (x)$ par $2 (\csc^{2} (x) - 1)$ d’après l’identité $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) - 1) + 3 \csc (x) = 0$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \csc^{2} (x) + 2 \cdot - 1 + 3 \csc (x) = 0$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \csc^{2} (x) - 2 + 3 \csc (x) = 0$

Étape 3

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$2 \csc^{2} (x) + 3 \csc (x) - 2 = 0$

Étape 4

Remplacez $\csc (x)$ par $u$ .

$2 {(u)}^{2} + 3 (u) - 2 = 0$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ et dont la somme est $b = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 u$ .

$2 u^{2} + 3 u - 2 = 0$

Étape 5.1.2

Réécrivez $3$ comme $- 1$ plus $4$

$2 u^{2} + (- 1 + 4) u - 2 = 0$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1) = 0$

Étape 5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 2) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Étape 7

Définissez $2 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Définissez $2 u - 1$ égal à $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $2 u - 1 = 0$ pour $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 u = 1$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $2 u = 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 u = 1$ par $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Étape 8

Définissez $u + 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Définissez $u + 2$ égal à $0$ .

$u + 2 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 2$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 u - 1) (u + 2) = 0$ vraie.

$u = \frac{1}{2}, - 2$

Étape 10

Remplacez $u$ par $\csc (x)$ .

$\csc (x) = \frac{1}{2}, - 2$

Étape 11

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\csc (x) = \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

Étape 12

Résolvez $x$ dans $\csc (x) = \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

La plage de la cosécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $\frac{1}{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 13

Résolvez $x$ dans $\csc (x) = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (- 2)$

Étape 13.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

La valeur exacte de $arccsc (- 2)$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 13.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 13.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 13.4.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 13.5

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 13.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 13.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 13.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 13.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Étape 13.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 13.6.3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 13.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 13.6.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.6.4.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Étape 13.6.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Étape 13.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 13.7

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$