Trigonométrie Exemples

$2 \log_{3} (x) - \log_{3} (x + 6) = 1$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \log_{3} (x) - \log_{3} (x + 6) = 1$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $2 \log_{3} (x) - \log_{3} (x + 6)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez $2 \log_{3} (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{3} (x^{2}) - \log_{3} (x + 6) = 1$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2}}{x + 6}) = 1$

Étape 3

Réécrivez $\log_{3} (\frac{x^{2}}{x + 6}) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{x^{2}}{x + 6}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x^{2} = 3 (x + 6)$

Étape 5

Simplifiez $3 (x + 6)$ .

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = 3 x + 3 \cdot 6$

Étape 5.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$x^{2} = 3 x + 18$

Étape 6

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 x = 18$

Étape 7

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 3 x$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 3 x = 18$

Étape 7.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 18$

Étape 7.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$x (x - 3) = 18$

Étape 8

Simplifiez $x (x - 3)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 18$

Étape 8.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 = 18$

Étape 8.2.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 3 x = 18$

Étape 9

Soustrayez $18$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 x - 18 = 0$

Étape 10

Factorisez $x^{2} - 3 x - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 10.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 6, 3$

Étape 10.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 6) (x + 3) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 12

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 13

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 13.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 6) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 6, - 3$

Étape 15

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 \log_{3} (x) - \log_{3} (x + 6) = 1$ vrai.

$x = 6$