Trigonométrie Exemples

$2 \sec^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

Étape 1

Remplacez le $2 \sec^{2} (x)$ par $2 (1 + \tan^{2} (x))$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 (1 + \tan^{2} (x)) = 3 - \tan (x)$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

Étape 3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

Étape 4

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$2 \tan^{2} (x) + 2 = 3 - \tan (x)$

Étape 5

Remplacez $\tan (x)$ par $u$ .

$2 {(u)}^{2} + 2 = 3 - (u)$

Étape 6

Ajoutez $u$ aux deux côtés de l’équation.

$2 u^{2} + 2 + u = 3$

Étape 7

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 u^{2} + 2 + u - 3 = 0$

Étape 8

Soustrayez $3$ de $2$ .

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

Étape 9

Factorisez par regroupement.

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Étape 9.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 9.1.1

Multipliez par $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Étape 9.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 1$ plus $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Étape 9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Étape 9.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 9.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Étape 9.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Étape 9.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Étape 11

Définissez $2 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 11.1

Définissez $2 u - 1$ égal à $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $2 u - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 11.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 u = 1$

Étape 11.2.2

Divisez chaque terme dans $2 u = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 11.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 u = 1$ par $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 11.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Étape 12

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 12.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 12.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ vraie.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Étape 14

Remplacez $u$ par $\tan (x)$ .

$\tan (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Étape 15

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\tan (x) = \frac{1}{2}$

$\tan (x) = - 1$

Étape 16

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = \frac{1}{2}$ .

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Étape 16.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (\frac{1}{2})$

Étape 16.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 16.2.1

Évaluez $\arctan (\frac{1}{2})$ .

$x = 0.4636476$

Étape 16.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Étape 16.4

Résolvez $x$ .

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Étape 16.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 0.4636476$

Étape 16.4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Étape 16.4.3

Additionnez $3.14159265$ et $0.4636476$ .

$x = 3.60524026$

Étape 16.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 16.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 16.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 16.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 16.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 16.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 17

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - 1$ .

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Étape 17.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Étape 17.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 17.2.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 17.3

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Étape 17.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 17.4.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 17.4.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 17.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 17.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 17.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 17.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 17.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 17.6

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 17.6.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 17.6.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 17.6.3

Associez les fractions.

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Étape 17.6.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 17.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 17.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.6.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 17.6.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 17.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 17.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 18

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 19

Consolidez les solutions.

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Étape 19.1

Consolidez $0.4636476 + π n$ et $3.60524026 + π n$ en $0.4636476 + π n$ .

$x = 0.4636476 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 19.2

Consolidez $\frac{3 π}{4} + π n$ et $\frac{3 π}{4} + π n$ en $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = 0.4636476 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$