Trigonométrie Exemples

$2 \sec^{2} (x) - \tan^{4} (x) = - 1$

Étape 1

Remplacez le $2 \sec^{2} (x)$ par $2 (1 + \tan^{2} (x))$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 (1 + \tan^{2} (x)) - \tan^{4} (x) = - 1$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (x) - \tan^{4} (x) = - 1$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (x) - \tan^{4} (x) = - 1$

Étape 3

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- \tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 2 = - 1$

Étape 4

Remplacez $u = \tan^{2} (x)$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$- u^{2} + 2 u + 2 = - 1$

$u = \tan^{2} (x)$

Étape 5

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- u^{2} + 2 u + 2 + 1 = 0$

Étape 6

Additionnez $2$ et $1$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Étape 7

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2} + 2 u + 3$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 2 u + 3 = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $2 u$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) + 3 = 0$

Étape 7.1.3

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 7.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2}) - (- 2 u)$ .

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 7.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ .

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Étape 7.2

Factorisez.

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Étape 7.2.1

Factorisez $u^{2} - 2 u - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 7.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Étape 7.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Étape 9

Définissez $u - 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 9.1

Définissez $u - 3$ égal à $0$ .

$u - 3 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 3$

Étape 10

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 10.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 10.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (u - 3) (u + 1) = 0$ vraie.

$u = 3, - 1$

Étape 12

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = \tan^{2} (x)$ dans l’équation résolue.

$\tan^{2} (x) = 3$

${(\tan^{2} (x))}^{1} = - 1$

Étape 13

Résolvez la première équation pour $\tan (x)$ .

$\tan^{2} (x) = 3$

Étape 14

Résolvez l’équation pour $\tan (x)$ .

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Étape 14.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

Étape 14.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 14.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Étape 14.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Étape 14.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 15

Résolvez la deuxième équation pour $\tan (x)$ .

${(\tan^{2} (x))}^{1} = - 1$

Étape 16

Résolvez l’équation pour $\tan (x)$ .

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Étape 16.1

Supprimez les parenthèses.

$\tan^{2} (x) = - 1$

Étape 16.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 16.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\tan (x) = \pm i$

Étape 16.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 16.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\tan (x) = i$

Étape 16.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\tan (x) = - i$

Étape 16.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\tan (x) = i, - i$

Étape 17

La solution à $- \tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 2 = - 1$ est $\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$

Étape 18

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

$\tan (x) = i$

$\tan (x) = - i$

Étape 19

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

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Étape 19.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Étape 19.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 19.2.1

La valeur exacte de $\arctan (\sqrt{3})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 19.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{3}$

Étape 19.4

Simplifiez $π + \frac{π}{3}$ .

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Étape 19.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 19.4.2

Associez les fractions.

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Étape 19.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 19.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Étape 19.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.4.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Étape 19.4.3.2

Additionnez $3 π$ et $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 19.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 19.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 19.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 19.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 19.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 19.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 20

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - \sqrt{3}$ .

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Étape 20.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Étape 20.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 20.2.1

La valeur exacte de $\arctan (- \sqrt{3})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Étape 20.3

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Étape 20.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 20.4.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Étape 20.4.2

L’angle résultant de $\frac{2 π}{3}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 20.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 20.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 20.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 20.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 20.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 20.6

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 20.6.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{3}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{3} + π$

Étape 20.6.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 20.6.3

Associez les fractions.

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Étape 20.6.3.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 20.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 20.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 20.6.4.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Étape 20.6.4.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 20.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 20.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 21

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = i$ .

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Étape 21.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (i)$

Étape 21.2

La tangente inverse de $\arctan (i)$ est indéfinie.

Indéfini

Étape 22

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - i$ .

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Étape 22.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- i)$

Étape 22.2

La tangente inverse de $\arctan (- i)$ est indéfinie.

Indéfini

Étape 23

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 24

Consolidez les solutions.

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Étape 24.1

Consolidez $\frac{π}{3} + π n$ et $\frac{4 π}{3} + π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 24.2

Consolidez $\frac{2 π}{3} + π n$ et $\frac{2 π}{3} + π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$