Trigonométrie Exemples

$20 \sin^{2} (x) - 21 \sin (x) + 4 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sin (x)$ par $u$ .

$20 u^{2} - 21 u + 4 = 0$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 20 \cdot 4 = 80$ et dont la somme est $b = - 21$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $- 21$ à partir de $- 21 u$ .

$20 u^{2} - 21 u + 4 = 0$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $- 21$ comme $- 5$ plus $- 16$

$20 u^{2} + (- 5 - 16) u + 4 = 0$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$20 u^{2} - 5 u - 16 u + 4 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(20 u^{2} - 5 u) - 16 u + 4 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$5 u (4 u - 1) - 4 (4 u - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (5 u - 4) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$(4 \sin (x) - 1) (5 \sin (x) - 4) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 \sin (x) - 1 = 0$

$5 \sin (x) - 4 = 0$

Étape 3

Définissez $4 \sin (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $4 \sin (x) - 1$ égal à $0$ .

$4 \sin (x) - 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $4 \sin (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 \sin (x) = 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $4 \sin (x) = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 \sin (x) = 1$ par $4$ .

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

Étape 3.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{4})$

Étape 3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.1

Évaluez $\arcsin (\frac{1}{4})$ .

$x = 0.25268025$

Étape 3.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

Étape 3.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.6.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 0.25268025$

Étape 3.2.6.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

Étape 3.2.6.3

Soustrayez $0.25268025$ de $3.14159265$ .

$x = 2.88891239$

Étape 3.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.25268025 + 2 π n, 2.88891239 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $5 \sin (x) - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $5 \sin (x) - 4$ égal à $0$ .

$5 \sin (x) - 4 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $5 \sin (x) - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$5 \sin (x) = 4$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $5 \sin (x) = 4$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 \sin (x) = 4$ par $5$ .

$\frac{5 \sin (x)}{5} = \frac{4}{5}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \sin (x)}{5} = \frac{4}{5}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{4}{5}$

Étape 4.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{4}{5})$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.4.1

Évaluez $\arcsin (\frac{4}{5})$ .

$x = 0.92729521$

Étape 4.2.5

$x = (3.14159265) - 0.92729521$

Étape 4.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.6.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 0.92729521$

Étape 4.2.6.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 0.92729521$

Étape 4.2.6.3

Soustrayez $0.92729521$ de $3.14159265$ .

$x = 2.21429743$

Étape 4.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.92729521 + 2 π n, 2.21429743 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 \sin (x) - 1) (5 \sin (x) - 4) = 0$ vraie.

$x = 0.25268025 + 2 π n, 2.88891239 + 2 π n, 0.92729521 + 2 π n, 2.21429743 + 2 π n$ , pour tout entier $n$