Trigonométrie Exemples

$2 \tan (x) - \sec^{2} (x) = 0$

Étape 1

Remplacez le $- \sec^{2} (x)$ par $- (1 + \tan^{2} (x))$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 \tan (x) - (1 + \tan^{2} (x)) = 0$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \tan (x) - 1 \cdot 1 - \tan^{2} (x) = 0$

Étape 2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \tan (x) - 1 - \tan^{2} (x) = 0$

Étape 3

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) - 1 = 0$

Étape 4

Remplacez $\tan (x)$ par $u$ .

$- {(u)}^{2} + 2 (u) - 1 = 0$

Étape 5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2} + 2 u - 1$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2}$ .

$- u^{2} + 2 u - 1 = 0$

Étape 5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $2 u$ .

$- u^{2} - (- 2 u) - 1 = 0$

Étape 5.1.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- u^{2} - (- 2 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 5.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2} - (- 2 u)$ .

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 5.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2} - 2 u) - 1 (1)$ .

$- (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

Étape 5.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

Étape 5.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 5.2.3

Réécrivez le polynôme.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 5.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$- {(u - 1)}^{2} = 0$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $- {(u - 1)}^{2} = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $- {(u - 1)}^{2} = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- {(u - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{{(u - 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2

Divisez ${(u - 1)}^{2}$ par $1$ .

${(u - 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Étape 7

Définissez le $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 8

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 9

Remplacez $u$ par $\tan (x)$ .

$\tan (x) = 1$

Étape 10

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Étape 11

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 12

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 13

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 13.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 13.2

Associez les fractions.

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Étape 13.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 13.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 13.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 14

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 14.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 14.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 14.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 14.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 15

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 16

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$