Trigonométrie Exemples

$2 \tan (x) = 1 - \tan^{2} (x)$

Étape 1

Remplacez $\tan (x)$ par $u$ .

$2 (u) = 1 - {(u)}^{2}$

Étape 2

Ajoutez $u^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$2 u + u^{2} = 1$

Étape 3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 u + u^{2} - 1 = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = - 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Étape 8

Remplacez $u$ par $\tan (x)$ .

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Étape 9

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{2}$

$\tan (x) = - 1 - \sqrt{2}$

Étape 10

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - 1 + \sqrt{2}$ .

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Étape 10.1

Convertissez le côté droit de l’équation en son équivalent décimal.

$\tan (x) = 0.41421356$

Étape 10.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (0.41421356)$

Étape 10.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.1

Évaluez $\arctan (0.41421356)$ .

$x = \frac{π}{8}$

Étape 10.4

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{8}$

Étape 10.5

Simplifiez $π + \frac{π}{8}$ .

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Étape 10.5.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$x = π \cdot \frac{8}{8} + \frac{π}{8}$

Étape 10.5.2

Associez les fractions.

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Étape 10.5.2.1

Associez $π$ et $\frac{8}{8}$ .

$x = \frac{π \cdot 8}{8} + \frac{π}{8}$

Étape 10.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 8 + π}{8}$

Étape 10.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.5.3.1

Déplacez $8$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{8 \cdot π + π}{8}$

Étape 10.5.3.2

Additionnez $8 π$ et $π$ .

$x = \frac{9 π}{8}$

Étape 10.6

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 10.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 10.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 10.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 10.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 10.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{9 π}{8} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - 1 - \sqrt{2}$ .

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Étape 11.1

Convertissez le côté droit de l’équation en son équivalent décimal.

$\tan (x) = - 2.41421356$

Étape 11.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 2.41421356)$

Étape 11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.3.1

Évaluez $\arctan (- 2.41421356)$ .

$x = - \frac{3 π}{8}$

Étape 11.4

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{3 π}{8} - π$

Étape 11.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 11.5.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{3 π}{8} - π$ .

$x = - \frac{3 π}{8} - π + 2 π$

Étape 11.5.2

L’angle résultant de $\frac{5 π}{8}$ est positif et coterminal avec $- \frac{3 π}{8} - π$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Étape 11.6

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 11.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 11.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 11.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 11.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 11.7

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 11.7.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{3 π}{8}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{3 π}{8} + π$

Étape 11.7.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$π \cdot \frac{8}{8} - \frac{3 π}{8}$

Étape 11.7.3

Associez les fractions.

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Étape 11.7.3.1

Associez $π$ et $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \cdot 8}{8} - \frac{3 π}{8}$

Étape 11.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 8 - 3 π}{8}$

Étape 11.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.7.4.1

Déplacez $8$ à gauche de $π$ .

$\frac{8 \cdot π - 3 π}{8}$

Étape 11.7.4.2

Soustrayez $3 π$ de $8 π$ .

$\frac{5 π}{8}$

Étape 11.7.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{5 π}{8}$

Étape 11.8

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{9 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$