Trigonométrie Exemples

$2 \sin (x + \frac{π}{6}) + 1 = 0$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x + \frac{π}{6}) = - 1$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x + \frac{π}{6}) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x + \frac{π}{6}) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x + \frac{π}{6})}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x + \frac{π}{6})}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\sin (x + \frac{π}{6})$ par $1$ .

$\sin (x + \frac{π}{6}) = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x + \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$

Étape 3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x + \frac{π}{6} = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x + \frac{π}{6} = - \frac{π}{6}$

Étape 5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $\frac{π}{6}$ des deux côtés de l’équation.

$x = - \frac{π}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- π - π}{6}$

Étape 5.3

Soustrayez $π$ de $- π$ .

$x = \frac{- 2 π}{6}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $6$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 π$ .

$x = \frac{2 (- π)}{6}$

Étape 5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = \frac{2 (- π)}{2 (3)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 (- π)}{2 \cdot 3}$

Étape 5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- π}{3}$

Étape 5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{π}{3}$

Étape 6

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x + \frac{π}{6} = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 7.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x + \frac{π}{6} = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 7.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x + \frac{π}{6} = \frac{7 π}{6}$

Étape 7.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.3.1

Soustrayez $\frac{π}{6}$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{7 π}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{7 π - π}{6}$

Étape 7.3.3

Soustrayez $π$ de $7 π$ .

$x = \frac{6 π}{6}$

Étape 7.3.4

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 7.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{6 π}{6}$

Étape 7.3.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$x = π$

Étape 8

Déterminez la période de $\sin (x + \frac{π}{6})$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 8.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 9

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 9.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{3}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Étape 9.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 9.3

Associez les fractions.

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Étape 9.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 9.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 9.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Étape 9.4.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Étape 9.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 10

La période de la fonction $\sin (x + \frac{π}{6})$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$