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Trigonométrie Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 1.1.1
Réécrivez en termes de sinus et de cosinus.
Étape 1.1.2
Réécrivez en termes de sinus et de cosinus.
Étape 2
Multipliez les deux côtés de l’équation par .
Étape 3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 4
Étape 4.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 4.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 4.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 4.3
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5
Étape 5.1
Multipliez .
Étape 5.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 5.1.3
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 5.1.4
Additionnez et .
Étape 5.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 5.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 6
Multipliez par .
Étape 7
Remplacez le par d’après l’identité .
Étape 8
Étape 8.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 8.2
Multipliez par .
Étape 8.3
Multipliez par .
Étape 9
Soustrayez de .
Étape 10
Remplacez par .
Étape 11
Étape 11.1
Factorisez à partir de .
Étape 11.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 11.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 11.1.3
Réécrivez comme .
Étape 11.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 11.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 11.2
Factorisez.
Étape 11.2.1
Factorisez par regroupement.
Étape 11.2.1.1
Pour un polynôme de la forme , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est et dont la somme est .
Étape 11.2.1.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 11.2.1.1.2
Réécrivez comme plus
Étape 11.2.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 11.2.1.1.4
Multipliez par .
Étape 11.2.1.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Étape 11.2.1.2.1
Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.
Étape 11.2.1.2.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Étape 11.2.1.3
Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, .
Étape 11.2.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 12
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 13
Étape 13.1
Définissez égal à .
Étape 13.2
Résolvez pour .
Étape 13.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 13.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 13.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 13.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 13.2.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 13.2.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 13.2.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 13.2.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 13.2.2.3.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 14
Étape 14.1
Définissez égal à .
Étape 14.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 15
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 16
Remplacez par .
Étape 17
Définissez chacune des solutions à résoudre pour .
Étape 18
Étape 18.1
Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du cosinus.
Étape 18.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 18.2.1
La valeur exacte de est .
Étape 18.3
La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.
Étape 18.4
Simplifiez .
Étape 18.4.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 18.4.2
Associez les fractions.
Étape 18.4.2.1
Associez et .
Étape 18.4.2.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 18.4.3
Simplifiez le numérateur.
Étape 18.4.3.1
Multipliez par .
Étape 18.4.3.2
Soustrayez de .
Étape 18.5
Déterminez la période de .
Étape 18.5.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 18.5.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 18.5.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 18.5.4
Divisez par .
Étape 18.6
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 19
Étape 19.1
Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du cosinus.
Étape 19.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 19.2.1
La valeur exacte de est .
Étape 19.3
La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.
Étape 19.4
Soustrayez de .
Étape 19.5
Déterminez la période de .
Étape 19.5.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 19.5.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 19.5.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 19.5.4
Divisez par .
Étape 19.6
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 20
Indiquez toutes les solutions.
, pour tout entier
Étape 21
Consolidez les réponses.
, pour tout entier