Trigonométrie Exemples

$2 \cos (x) + 3 = \sin^{2} (x)$

Étape 1

Soustrayez $\sin^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$2 \cos (x) + 3 - \sin^{2} (x) = 0$

Étape 2

Remplacez $\sin^{2} (x)$ par $1 - \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) + 3 - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

$2 (u) + 3 - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

Étape 3.2

Simplifiez $2 u + 3 - (1 - u^{2})$ .

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 u + 3 - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 u + 3 - 1 - - u^{2} = 0$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- - u^{2}$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 u + 3 - 1 + 1 u^{2} = 0$

Étape 3.2.1.3.2

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$2 u + 3 - 1 + u^{2} = 0$

Étape 3.2.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$2 u + 2 + u^{2} = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{2}$

Étape 3.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i}{2}$ .

$u = - 1 \pm i$

Étape 3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - 1 + i, - 1 - i$

Étape 3.7

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - 1 + i, - 1 - i$

Étape 3.8

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = - 1 + i$

$\cos (x) = - 1 - i$

Étape 3.9

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - 1 + i$ .

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Étape 3.9.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1 + i)$

Étape 3.9.2

Le cosinus inverse de $\arccos (- 1 + i)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.10

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - 1 - i$ .

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Étape 3.10.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1 - i)$

Étape 3.10.2

Le cosinus inverse de $\arccos (- 1 - i)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.11

Indiquez toutes les solutions.

Aucune solution