Trigonométrie Exemples

$2 \cos (x) = \sec (x)$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = \sec (x)$ par $2 \cos (x)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = \sec (x)$ par $2 \cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Séparez les fractions.

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$

Étape 1.3.3

Réécrivez $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ comme un produit.

$1 = \frac{1}{2} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 1.3.4

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

Étape 1.3.5

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Étape 1.3.5.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Étape 1.3.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Étape 1.3.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.3.6

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.1

Associez.

$1 = \frac{1 \cdot 1}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 1.3.6.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 = \frac{1}{2 \cos^{2} (x)}$

Étape 1.3.7

Multipliez par $1$ .

$1 = \frac{1}{2 (\cos^{2} (x) \cdot 1)}$

Étape 1.3.8

Séparez les fractions.

$1 = \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.3.9

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ à $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (x)$

Étape 1.3.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$1 = \frac{1}{2} \sec^{2} (x)$

Étape 1.3.11

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{\sec^{2} (x)}{2}$

Étape 2

Réécrivez l’équation comme $\frac{\sec^{2} (x)}{2} = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{2} = 1$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{\sec^{2} (x)}{2} = 2 \cdot 1$

Étape 4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sec^{2} (x)}{2} = 2 \cdot 1$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sec^{2} (x) = 2 \cdot 1$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\sec^{2} (x) = 2$

Étape 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Étape 6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Étape 6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 7

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Étape 8

Résolvez $x$ dans $\sec (x) = \sqrt{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

La valeur exacte de $arcsec (\sqrt{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 8.3

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 8.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 8.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 8.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 8.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Étape 8.4.3.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 8.5

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 8.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 8.6

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Résolvez $x$ dans $\sec (x) = - \sqrt{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Étape 9.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

La valeur exacte de $arcsec (- \sqrt{2})$ est $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 9.3

La fonction sécante est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Étape 9.4

Simplifiez $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 9.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 9.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Étape 9.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Étape 9.4.3.2

Soustrayez $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 9.5

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 9.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 9.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 9.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 9.6

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$