Trigonométrie Exemples

$2 \cos (x) \tan (x) + \sqrt{3} \tan (x) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$2 (\cos (x) \tan (x)) + \sqrt{3} \tan (x) = 0$

Étape 1.1.1.2

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $\tan (x)$ .

$2 (\tan (x) \cos (x)) + \sqrt{3} \tan (x) = 0$

Étape 1.1.1.3

Réécrivez $2 \cos (x) \tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) + \sqrt{3} \tan (x) = 0$

Étape 1.1.1.4

Annulez les facteurs communs.

$2 \sin (x) + \sqrt{3} \tan (x) = 0$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 \sin (x) + \sqrt{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 1.1.3

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$2 \sin (x) + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$2 \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cos (x) \sin (x) + \sqrt{3} \sin (x) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sqrt{3} \sin (x) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + \sqrt{3} \sin (x) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 6.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 x) + \sqrt{3} \sin (x) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 7

Multipliez $\cos (x)$ par $0$ .

$\sin (2 x) + \sqrt{3} \sin (x) = 0$

Étape 8

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) + \sqrt{3} \sin (x) = 0$

Étape 9

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) + \sqrt{3} \sin (x)$ .

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Étape 9.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sqrt{3} \sin (x) = 0$

Étape 9.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sqrt{3} \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \sqrt{3} = 0$

Étape 9.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \sqrt{3}$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) + \sqrt{3}) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) + \sqrt{3} = 0$

Étape 11

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 11.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 11.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 11.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 11.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 11.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 11.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 11.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 11.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 11.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 11.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Définissez $2 \cos (x) + \sqrt{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $2 \cos (x) + \sqrt{3}$ égal à $0$ .

$2 \cos (x) + \sqrt{3} = 0$

Étape 12.2

Résolvez $2 \cos (x) + \sqrt{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Soustrayez $\sqrt{3}$ des deux côtés de l’équation.

$2 \cos (x) = - \sqrt{3}$

Étape 12.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = - \sqrt{3}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 12.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = - \sqrt{3}$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 12.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 12.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 12.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 12.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 12.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 12.2.5

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Étape 12.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

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Étape 12.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Étape 12.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 12.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Étape 12.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Étape 12.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.6.3.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Étape 12.2.6.3.2

Soustrayez $5 π$ de $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 12.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 12.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 12.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\sin (x) (2 \cos (x) + \sqrt{3}) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Consolidez $2 π n$ et $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$