Trigonométrie Exemples

$2 \ln (\sqrt{x}) - \ln (1 - x) = 2$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $1$ et $- x$ .

$2 \ln (\sqrt{x}) - \ln (- x + 1) = 2$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $2 \ln (\sqrt{x}) - \ln (- x + 1)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (\sqrt{x})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln ({\sqrt{x}}^{2}) - \ln (- x + 1) = 2$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) - \ln (- x + 1) = 2$

Étape 2.1.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - \ln (- x + 1) = 2$

Étape 2.1.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\ln (x^{\frac{2}{2}}) - \ln (- x + 1) = 2$

Étape 2.1.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (x^{\frac{2}{2}}) - \ln (- x + 1) = 2$

Étape 2.1.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (x^{1}) - \ln (- x + 1) = 2$

Étape 2.1.1.2.5

Simplifiez

$\ln (x) - \ln (- x + 1) = 2$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{- x + 1}) = 2$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{x}{- x + 1}) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2} = \frac{x}{- x + 1}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x = e^{2} (- x + 1)$

Étape 5

Simplifiez $e^{2} (- x + 1)$ .

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = e^{2} (- x) + e^{2} \cdot 1$

Étape 5.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1

Multipliez $e^{2}$ par $1$ .

$x = e^{2} (- x) + e^{2}$

Étape 5.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2} (- x) + e^{2}$ .

$x = - e^{2} x + e^{2}$

Étape 6

Ajoutez $e^{2} x$ aux deux côtés de l’équation.

$x + e^{2} x = e^{2}$

Étape 7

Factorisez $x$ à partir de $x + e^{2} x$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 + e^{2} x = e^{2}$

Étape 7.2

Factorisez $x$ à partir de $e^{2} x$ .

$x \cdot 1 + x e^{2} = e^{2}$

Étape 7.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x e^{2}$ .

$x (1 + e^{2}) = e^{2}$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $x (1 + e^{2}) = e^{2}$ par $1 + e^{2}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $x (1 + e^{2}) = e^{2}$ par $1 + e^{2}$ .

$\frac{x (1 + e^{2})}{1 + e^{2}} = \frac{e^{2}}{1 + e^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + e^{2}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 + e^{2})}{1 + e^{2}} = \frac{e^{2}}{1 + e^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{e^{2}}{1 + e^{2}}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{e^{2}}{1 + e^{2}}$

Forme décimale :

$x = 0.88079707 \dots$