Trigonométrie Exemples

$2 \csc (2 x) - \cot (x) = \tan (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\csc (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 \frac{1}{\sin (2 x)} - \cot (x) = \tan (x)$

Étape 1.1.2

Associez $2$ et $\frac{1}{\sin (2 x)}$ .

$\frac{2}{\sin (2 x)} - \cot (x) = \tan (x)$

Étape 1.1.3

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2}{\sin (2 x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \tan (x)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2}{\sin (2 x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) (\frac{2}{\sin (2 x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (2 x) \frac{2}{\sin (2 x)} + \sin (2 x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\sin (2 x)$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (2 x) \frac{2}{\sin (2 x)} + \sin (2 x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$2 + \sin (2 x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 - \sin (2 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Associez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ et $\sin (2 x)$ .

$2 - \frac{\cos (x) \sin (2 x)}{\sin (x)} = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 - \frac{\cos (x) \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.2.2

Associez les exposants.

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Étape 7.2.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 - \frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)} = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.2.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$2 - \frac{2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)} = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.2.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 - \frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 - \frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 - \frac{2 \sin (x) \cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.3.2

Divisez $2 \cos^{2} (x)$ par $1$ .

$2 - (2 \cos^{2} (x)) = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 8

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 (1) - 2 \cos^{2} (x) = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 9

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 10

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x))$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 11

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$2 \sin^{2} (x) = \sin (2 x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 12

Associez $\sin (2 x)$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$2 \sin^{2} (x) = \frac{\sin (2 x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin^{2} (x) = \frac{2 \sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 13.2

Associez les exposants.

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Étape 13.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \sin^{2} (x) = \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 13.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \sin^{2} (x) = \frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 13.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \sin^{2} (x) = \frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 13.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \sin^{2} (x) = \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 14

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 14.1

Annulez le facteur commun.

$2 \sin^{2} (x) = \frac{2 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 14.2

Divisez $2 \sin^{2} (x)$ par $1$ .

$2 \sin^{2} (x) = 2 \sin^{2} (x)$

Étape 15

Déplacez tous les termes contenant $\sin (x)$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 15.1

Soustrayez $2 \sin^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 15.2

Soustrayez $2 \sin^{2} (x)$ de $2 \sin^{2} (x)$ .

$0 = 0$

Étape 16

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 17

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$