Trigonométrie Exemples

$2 \cos (2 x + \frac{π}{6}) = \sqrt{3}$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (2 x + \frac{π}{6}) = \sqrt{3}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (2 x + \frac{π}{6}) = \sqrt{3}$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x + \frac{π}{6})}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (2 x + \frac{π}{6})}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $\cos (2 x + \frac{π}{6})$ par $1$ .

$\cos (2 x + \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x + \frac{π}{6} = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$2 x + \frac{π}{6} = \frac{π}{6}$

Étape 4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $\frac{π}{6}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = \frac{π}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{π - π}{6}$

Étape 4.3

Soustrayez $π$ de $π$ .

$2 x = \frac{0}{6}$

Étape 4.4

Divisez $0$ par $6$ .

$2 x = 0$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x + \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{6}$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 7.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 x + \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.1.2

Associez les fractions.

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Étape 7.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$2 x + \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x + \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 7.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.3.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$2 x + \frac{π}{6} = \frac{12 π - π}{6}$

Étape 7.1.3.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$2 x + \frac{π}{6} = \frac{11 π}{6}$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $\frac{π}{6}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = \frac{11 π}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{11 π - π}{6}$

Étape 7.2.3

Soustrayez $π$ de $11 π$ .

$2 x = \frac{10 π}{6}$

Étape 7.2.4

Annulez le facteur commun à $10$ et $6$ .

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Étape 7.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $10 π$ .

$2 x = \frac{2 (5 π)}{6}$

Étape 7.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 x = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

Étape 7.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x = \frac{5 π}{3}$

Étape 7.3

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 π}{3}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 π}{3}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

Étape 7.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

Étape 7.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

Étape 7.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 7.3.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 7.3.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 2}$

Étape 7.3.3.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 8

Déterminez la période de $\cos (2 x + \frac{π}{6})$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 8.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 9

La période de la fonction $\cos (2 x + \frac{π}{6})$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$