Trigonométrie Exemples

$2 \cos (\frac{1}{2} x) - \sqrt{2} = 0$

Étape 1

Ajoutez $\sqrt{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \cos (\frac{1}{2} x) = \sqrt{2}$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (\frac{1}{2} x) = \sqrt{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (\frac{1}{2} x) = \sqrt{2}$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (\frac{1}{2} x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (\frac{1}{2} x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\cos (\frac{1}{2} x)$ par $1$ .

$\cos (\frac{1}{2} x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{1}{2} x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$\frac{x}{2} = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Étape 7

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Étape 7.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Étape 7.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π}{2}$

Étape 8

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 9

Résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{4})$

Étape 9.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 9.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{4})$

Étape 9.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{4})$

Étape 9.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.2.1

Simplifiez $2 (2 π - \frac{π}{4})$ .

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Étape 9.2.2.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Étape 9.2.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 9.2.2.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4})$

Étape 9.2.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 9.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.2.1.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - π}{2 (2)}$

Étape 9.2.2.1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - π}{2 \cdot 2}$

Étape 9.2.2.1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{2}$

Étape 9.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.2.1.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{2}$

Étape 9.2.2.1.3.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{2}$

Étape 10

Déterminez la période de $\cos (\frac{1}{2} x)$ .

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Étape 10.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 10.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 10.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 10.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 11

La période de la fonction $\cos (\frac{1}{2} x)$ est $4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 4 π n, \frac{7 π}{2} + 4 π n$ , pour tout entier $n$