Trigonométrie Exemples

$\cot (x) = \csc (2 x) + \cot (2 x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \csc (2 x) + \cot (2 x)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\csc (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (2 x)} + \cot (2 x)$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\cot (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (\frac{1}{\sin (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (\frac{1}{\sin (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \sin (x) (\frac{1}{\sin (2 x)} + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (2 x)} + \sin (x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Étape 6

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{\sin (2 x)}$ .

$\cos (x) = \frac{\sin (x)}{\sin (2 x)} + \sin (x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Étape 7

Associez $\sin (x)$ et $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$\cos (x) = \frac{\sin (x)}{\sin (2 x)} + \frac{\sin (x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Étape 8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\cos (x) = \frac{\sin (x)}{2 \sin (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \frac{\sin (x)}{2 \sin (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Étape 8.2.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \frac{1}{2 \cos (x)} + \frac{\sin (x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Étape 8.3

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2 \cos (x)} + \frac{\sin (x) (2 \cos^{2} (x) - 1)}{\sin (2 x)}$

Étape 8.4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\cos (x) = \frac{1}{2 \cos (x)} + \frac{\sin (x) (2 \cos^{2} (x) - 1)}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 8.5.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \frac{1}{2 \cos (x)} + \frac{\sin (x) (2 \cos^{2} (x) - 1)}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Étape 8.5.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \frac{1}{2 \cos (x)} + \frac{2 \cos^{2} (x) - 1}{2 \cos (x)}$

Étape 8.6

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (x) = \frac{1}{2 \cos (x)} + \frac{\cos (2 x)}{2 \cos (x)}$

Étape 9

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2 \cos (x)} + \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 10

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 10.1

Soustrayez $\frac{1}{2 \cos (x)}$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (x) - \frac{1}{2 \cos (x)} = \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)}$

Étape 10.2

Soustrayez $\frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)}$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (x) - \frac{1}{2 \cos (x)} - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)} = 0$

Étape 11

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.1

Simplifiez $\cos (x) - \frac{1}{2 \cos (x)} - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)}$ .

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Étape 11.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 11.1.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (x) + \frac{- 1 - (1 - 2 \sin^{2} (x))}{2 \cos (x)} = 0$

Étape 11.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) + \frac{- 1 - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x))}{2 \cos (x)} = 0$

Étape 11.1.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\cos (x) + \frac{- 1 - 1 - (- 2 \sin^{2} (x))}{2 \cos (x)} = 0$

Étape 11.1.1.2.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\cos (x) + \frac{- 1 - 1 + 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)} = 0$

Étape 11.1.1.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 11.1.1.3.1

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\cos (x) + \frac{- 2 + 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)} = 0$

Étape 11.1.1.3.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2$ .

$\cos (x) + \frac{- 2 (1) + 2 \sin^{2} (x)}{2 \cos (x)} = 0$

Étape 11.1.1.3.3

Factorisez $- 2$ à partir de $2 \sin^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x))}{2 \cos (x)} = 0$

Étape 11.1.1.3.4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x))$ .

$\cos (x) + \frac{- 2 (1 - \sin^{2} (x))}{2 \cos (x)} = 0$

Étape 11.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cos (x) + \frac{- 2 \cos^{2} (x)}{2 \cos (x)} = 0$

Étape 11.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 11.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 11.1.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{2 (- \cos^{2} (x))}{2 \cos (x)} = 0$

Étape 11.1.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{2 (- \cos^{2} (x))}{2 (\cos (x))} = 0$

Étape 11.1.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) + \frac{2 (- \cos^{2} (x))}{2 \cos (x)} = 0$

Étape 11.1.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) + \frac{- \cos^{2} (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 11.1.3.1.2

Annulez le facteur commun à $\cos^{2} (x)$ et $\cos (x)$ .

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Étape 11.1.3.1.2.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x)} = 0$

Étape 11.1.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1.3.1.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$\cos (x) + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} = 0$

Étape 11.1.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} = 0$

Étape 11.1.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) + \frac{- \cos (x)}{1} = 0$

Étape 11.1.3.1.2.2.4

Divisez $- \cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) - \cos (x) = 0$

Étape 11.1.3.2

Soustrayez $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$0 = 0$

Étape 12

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$