Trigonométrie Exemples

$8 \cos (\arcsin (x)) = \sqrt{64 - 64 x^{2}}$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\sqrt{64 - 64 x^{2}} = 8 \cos (\arcsin (x))$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{64 - 64 x^{2}}}^{2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{64 - 64 x^{2}}$ comme ${(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(64 - 64 x^{2})}^{1} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$64 - 64 x^{2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 3.3.1.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arcsin (x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Ainsi, $\cos (\arcsin (x))$ est $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{1 - x^{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{1^{2} - x^{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}^{2}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez en annulant l’exposant avec un radical.

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Étape 3.3.1.3.1

Appliquez la règle de produit à $8 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$64 - 64 x^{2} = 8^{2} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.3

Réécrivez ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ comme $(1 + x) (1 - x)$ .

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Étape 3.3.1.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ comme ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

Étape 3.3.1.3.3.5

Simplifiez

$64 - 64 x^{2} = 64 ((1 + x) (1 - x))$

Étape 3.3.1.4

Développez $(1 + x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 (1 - x) + x (1 - x))$

Étape 3.3.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))$

Étape 3.3.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Étape 3.3.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.5.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

Étape 3.3.1.5.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))$

Étape 3.3.1.5.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x + x (- x))$

Étape 3.3.1.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - x \cdot x)$

Étape 3.3.1.5.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.5.1.5.1

Déplacez $x$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - (x \cdot x))$

Étape 3.3.1.5.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - x^{2})$

Étape 3.3.1.5.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 + 0 - x^{2})$

Étape 3.3.1.5.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x^{2})$

Étape 3.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$64 - 64 x^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- x^{2})$

Étape 3.3.1.7

Multipliez.

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Étape 3.3.1.7.1

Multipliez $64$ par $1$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 + 64 (- x^{2})$

Étape 3.3.1.7.2

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$64 - 64 x^{2} = 64 - 64 x^{2}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Ajoutez $64 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$64 - 64 x^{2} + 64 x^{2} = 64$

Étape 4.1.2

Associez les termes opposés dans $64 - 64 x^{2} + 64 x^{2}$ .

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Étape 4.1.2.1

Additionnez $- 64 x^{2}$ et $64 x^{2}$ .

$64 + 0 = 64$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $64$ et $0$ .

$64 = 64$

Étape 4.2

Comme $64 = 64$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$