Trigonométrie Exemples

$9 \sin^{2} (x) - 5 \sin (x) = 1$

Étape 1

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$9 {(u)}^{2} - 5 u = 1$

Étape 2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$9 u^{2} - 5 u - 1 = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 9$ , $b = - 5$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 1)}}{2 \cdot 9}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 9 \cdot - 1}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot - 1$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 36 \cdot - 1}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $- 1$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 36}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.1.3

Additionnez $25$ et $36$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{61}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$u = \frac{5 \pm \sqrt{61}}{18}$

Étape 6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{5 + \sqrt{61}}{18}, \frac{5 - \sqrt{61}}{18}$

Étape 7

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{5 + \sqrt{61}}{18}, \frac{5 - \sqrt{61}}{18}$

Étape 8

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{5 + \sqrt{61}}{18}$

$\sin (x) = \frac{5 - \sqrt{61}}{18}$

Étape 9

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{5 + \sqrt{61}}{18}$ .

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Étape 9.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{5 + \sqrt{61}}{18})$

Étape 9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.1

Évaluez $\arcsin (\frac{5 + \sqrt{61}}{18})$ .

$x = 0.79188753$

Étape 9.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) - 0.79188753$

Étape 9.4

Résolvez $x$ .

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Étape 9.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 0.79188753$

Étape 9.4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 0.79188753$

Étape 9.4.3

Soustrayez $0.79188753$ de $3.14159265$ .

$x = 2.34970512$

Étape 9.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 9.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 9.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 9.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 9.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 9.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.79188753 + 2 π n, 2.34970512 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{5 - \sqrt{61}}{18}$ .

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Étape 10.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{5 - \sqrt{61}}{18})$

Étape 10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.1

Évaluez $\arcsin (\frac{5 - \sqrt{61}}{18})$ .

$x = - 0.15676629$

Étape 10.3

$x = (3.14159265) + 0.15676629$

Étape 10.4

Résolvez $x$ .

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Étape 10.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 0.15676629$

Étape 10.4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 0.15676629$

Étape 10.4.3

Additionnez $3.14159265$ et $0.15676629$ .

$x = 3.29835895$

Étape 10.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 10.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 10.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 10.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 10.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 10.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- 0.15676629$ pour déterminer l’angle positif.

$- 0.15676629 + 2 π$

Étape 10.6.2

Soustrayez $0.15676629$ de $2 π$ .

$6.126419$

Étape 10.6.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 6.126419$

Étape 10.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 3.29835895 + 2 π n, 6.126419 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.79188753 + 2 π n, 2.34970512 + 2 π n, 3.29835895 + 2 π n, 6.126419 + 2 π n$ , pour tout entier $n$