Trigonométrie Exemples

$3 \csc (x) - 4 \sqrt{3} = 9 \csc (x)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant $\csc (x)$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $9 \csc (x)$ des deux côtés de l’équation.

$3 \csc (x) - 4 \sqrt{3} - 9 \csc (x) = 0$

Étape 1.2

Soustrayez $9 \csc (x)$ de $3 \csc (x)$ .

$- 6 \csc (x) - 4 \sqrt{3} = 0$

Étape 2

Ajoutez $4 \sqrt{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$- 6 \csc (x) = 4 \sqrt{3}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $- 6 \csc (x) = 4 \sqrt{3}$ par $- 6$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- 6 \csc (x) = 4 \sqrt{3}$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 \csc (x)}{- 6} = \frac{4 \sqrt{3}}{- 6}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 \csc (x)}{- 6} = \frac{4 \sqrt{3}}{- 6}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $\csc (x)$ par $1$ .

$\csc (x) = \frac{4 \sqrt{3}}{- 6}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $- 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{3}$ .

$\csc (x) = \frac{2 (2 \sqrt{3})}{- 6}$

Étape 3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\csc (x) = \frac{2 (2 \sqrt{3})}{2 (- 3)}$

Étape 3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = \frac{2 (2 \sqrt{3})}{2 \cdot - 3}$

Étape 3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{- 3}$

Étape 3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

La valeur exacte de $arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Étape 6

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Étape 7.2

L’angle résultant de $\frac{4 π}{3}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 8

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 8.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 9

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{3}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Étape 9.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 9.3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 9.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 9.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Étape 9.4.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Étape 9.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 10

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$