Trigonométrie Exemples

$4 \csc^{2} (x) + 4 \csc (x) + 1 = 0$

Étape 1

Remplacez $\csc (x)$ par $u$ .

$4 {(u)}^{2} + 4 (u) + 1 = 0$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $4 u^{2}$ comme ${(2 u)}^{2}$ .

${(2 u)}^{2} + 4 u + 1 = 0$

Étape 2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

${(2 u)}^{2} + 4 u + 1^{2} = 0$

Étape 2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

Étape 2.4

Réécrivez le polynôme.

${(2 u)}^{2} + 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Étape 2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 2 u$ et $b = 1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = 0$

Étape 3

Définissez le $2 u + 1$ égal à $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Étape 4

Résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 u = - 1$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $2 u = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 u = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{1}{2}$

Étape 5

Remplacez $u$ par $\csc (x)$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 6

La plage de la cosécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $- \frac{1}{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution