Trigonométrie Exemples

$4 \sin^{2} (x) = 9 \cos^{2} (x) + 6 \cos (x) + 1$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $9 \cos^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$4 \sin^{2} (x) - 9 \cos^{2} (x) = 6 \cos (x) + 1$

Étape 1.2

Soustrayez $6 \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$4 \sin^{2} (x) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) = 1$

Étape 1.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$4 \sin^{2} (x) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 2

Remplacez le $4 \sin^{2} (x)$ par $4 (1 - \cos^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 3.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.1

Soustrayez $1$ de $4$ .

$- 4 \cos^{2} (x) - 9 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) + 3 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $9 \cos^{2} (x)$ de $- 4 \cos^{2} (x)$ .

$- 13 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) + 3 = 0$

Étape 5

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

$- 13 {(u)}^{2} - 6 u + 3 = 0$

Étape 6

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7

Remplacez les valeurs $a = - 13$ , $b = - 6$ et $c = 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 13 \cdot 3)}}{2 \cdot - 13}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 13 \cdot 3}}{2 \cdot - 13}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 13 \cdot 3$ .

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 13$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 52 \cdot 3}}{2 \cdot - 13}$

Étape 8.1.2.2

Multipliez $52$ par $3$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 156}}{2 \cdot - 13}$

Étape 8.1.3

Additionnez $36$ et $156$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{192}}{2 \cdot - 13}$

Étape 8.1.4

Réécrivez $192$ comme $8^{2} \cdot 3$ .

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Étape 8.1.4.1

Factorisez $64$ à partir de $192$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot - 13}$

Étape 8.1.4.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot - 13}$

Étape 8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{6 \pm 8 \sqrt{3}}{2 \cdot - 13}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $- 13$ .

$u = \frac{6 \pm 8 \sqrt{3}}{- 26}$

Étape 8.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 8 \sqrt{3}}{- 26}$ .

$u = \frac{3 \pm 4 \sqrt{3}}{- 13}$

Étape 8.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{3 \pm 4 \sqrt{3}}{13}$

Étape 9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13}, - \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13}$

Étape 10

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13}, - \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13}$

Étape 11

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = - \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13}$

$\cos (x) = - \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13}$

Étape 12

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13}$ .

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Étape 12.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13})$

Étape 12.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.1

Évaluez $\arccos (- \frac{3 + 4 \sqrt{3}}{13})$ .

$x = 2.43983383$

Étape 12.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 2.43983383$

Étape 12.4

Résolvez $x$ .

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Étape 12.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 2.43983383$

Étape 12.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 2.43983383$ .

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Étape 12.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.43983383$

Étape 12.4.2.2

Soustrayez $2.43983383$ de $6.2831853$ .

$x = 3.84335147$

Étape 12.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 12.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 12.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2.43983383 + 2 π n, 3.84335147 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13}$ .

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Étape 13.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13})$

Étape 13.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.1

Évaluez $\arccos (- \frac{3 - 4 \sqrt{3}}{13})$ .

$x = 1.26382862$

Étape 13.3

$x = 2 (3.14159265) - 1.26382862$

Étape 13.4

Résolvez $x$ .

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Étape 13.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 1.26382862$

Étape 13.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 1.26382862$ .

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Étape 13.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.26382862$

Étape 13.4.2.2

Soustrayez $1.26382862$ de $6.2831853$ .

$x = 5.01935668$

Étape 13.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 13.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 13.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 13.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 13.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 13.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.26382862 + 2 π n, 5.01935668 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Indiquez toutes les solutions.

$x = 2.43983383 + 2 π n, 3.84335147 + 2 π n, 1.26382862 + 2 π n, 5.01935668 + 2 π n$ , pour tout entier $n$