Trigonométrie Exemples

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Étape 1

Remplacez le $4 \cos^{2} (x)$ par $4 (1 - \sin^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Étape 2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

Étape 3

Soustrayez $5$ de $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) - 1 = 0$

Étape 4

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 4 u - 1 = 0$

Étape 5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 u^{2} - 4 u - 1$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 u^{2}$ .

$- (4 u^{2}) - 4 u - 1 = 0$

Étape 5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 u$ .

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 = 0$

Étape 5.1.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 5.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 u^{2}) - (4 u)$ .

$- (4 u^{2} + 4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 5.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 u^{2} + 4 u) - 1 (1)$ .

$- (4 u^{2} + 4 u + 1) = 0$

Étape 5.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.2.1

Réécrivez $4 u^{2}$ comme ${(2 u)}^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1) = 0$

Étape 5.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1^{2}) = 0$

Étape 5.2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

Étape 5.2.4

Réécrivez le polynôme.

$- ({(2 u)}^{2} + 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 5.2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 2 u$ et $b = 1$ .

$- {(2 u + 1)}^{2} = 0$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- {(2 u + 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{{(2 u + 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2

Divisez ${(2 u + 1)}^{2}$ par $1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = 0$

Étape 7

Définissez le $2 u + 1$ égal à $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Étape 8

Résolvez $u$ .

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Étape 8.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 u = - 1$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $2 u = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $2 u = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{1}{2}$

Étape 9

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 10

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 11

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 12

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 13

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 13.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 13.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 14

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 14.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 14.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 14.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 14.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 15

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 15.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Étape 15.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 15.3

Associez les fractions.

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Étape 15.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 15.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 15.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.4.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Étape 15.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Étape 15.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 16

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$