Trigonométrie Exemples

$4 \cot (x) = \cot (x) \sin^{2} (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Simplifiez $4 \cot (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$4 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cot (x) \sin^{2} (x)$

Étape 1.1.2

Associez $4$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \cot (x) \sin^{2} (x)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez $\cot (x) \sin^{2} (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin^{2} (x)$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) \sin (x))$

Étape 2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) \sin (x))$

Étape 2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \sin (x)$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) \frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$4 \cos (x) = \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$

Étape 5

Multipliez $\sin (x) (\cos (x) \sin (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \cos (x) = \sin^{1} (x) \sin (x) \cos (x)$

Étape 5.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \cos (x) = \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \cos (x)$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \cos (x) = {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \cos (x) = \sin^{2} (x) \cos (x)$

Étape 6

Soustrayez $\sin^{2} (x) \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$4 \cos (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Étape 7

Factorisez $4 \cos (x) - \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $4 \cos (x) - \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $4 \cos (x)$ .

$\cos (x) \cdot 4 - \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cdot 4 + \cos (x) (- \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 7.1.3

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \cdot 4 + \cos (x) (- \sin^{2} (x))$ .

$\cos (x) (4 - \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\cos (x) (2^{2} - \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 7.3

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = \sin (x)$ .

$\cos (x) ((2 + \sin (x)) (2 - \sin (x))) = 0$

Étape 7.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\cos (x) (2 + \sin (x)) (2 - \sin (x)) = 0$

Étape 8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 + \sin (x) = 0$

$2 - \sin (x) = 0$

Étape 9

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 9.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 9.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 9.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 9.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 9.2.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 9.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 9.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 9.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 9.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 9.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 9.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 9.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 9.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Définissez $2 + \sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Définissez $2 + \sin (x)$ égal à $0$ .

$2 + \sin (x) = 0$

Étape 10.2

Résolvez $2 + \sin (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = - 2$

Étape 10.2.2

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- 2$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\cos (x) (2 + \sin (x)) (2 - \sin (x)) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$