Trigonométrie Exemples

$5 \sin (x) + 2 \cos (x) = 1$

Étape 1

Utilisez l’identité pour résoudre l’équation. Dans cette identité, $θ$ représente l’angle créé en reportant le point $(a, b)$ sur un graphe et peut donc être trouvé en utilisant $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ où $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ et $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Étape 2

Définissez l’équation pour déterminer la valeur de $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{2}{5})$

Étape 3

Évaluez $\tan^{-1} (\frac{2}{5})$ .

$θ = 0.38050637$

Étape 4

Résolvez pour déterminer la valeur de $R$ .

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Étape 4.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$R = \sqrt{25 + {(2)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$R = \sqrt{25 + 4}$

Étape 4.3

Additionnez $25$ et $4$ .

$R = \sqrt{29}$

Étape 5

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$(\sqrt{29}) \sin (x + 0.38050637) = 1$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637) = 1$ par $\sqrt{29}$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637) = 1$ par $\sqrt{29}$ .

$\frac{\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637)}{\sqrt{29}} = \frac{1}{\sqrt{29}}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{29}$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637)}{\sqrt{29}} = \frac{1}{\sqrt{29}}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $\sin (x + 0.38050637)$ par $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{1}{\sqrt{29}}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{29}}$ par $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{1}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$

Étape 6.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{29}}$ par $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}$

Étape 6.3.2.2

Élevez $\sqrt{29}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{\sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1} \sqrt{29}}$

Étape 6.3.2.3

Élevez $\sqrt{29}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{\sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1} {\sqrt{29}}^{1}}$

Étape 6.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{\sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{\sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{2}}$

Étape 6.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{29}}^{2}$ comme $29$ .

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Étape 6.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{29}$ comme $29^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{\sqrt{29}}{{(29^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{\sqrt{29}}{29^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{\sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{\sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{\sqrt{29}}{29^{1}}$

Étape 6.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{\sqrt{29}}{29}$

Étape 7

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x + 0.38050637 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{29}}{29})$

Étape 8

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.1

Évaluez $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{29}}{29})$ .

$x + 0.38050637 = 0.18677946$

Étape 9

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1

Soustrayez $0.38050637$ des deux côtés de l’équation.

$x = 0.18677946 - 0.38050637$

Étape 9.2

Soustrayez $0.38050637$ de $0.18677946$ .

$x = - 0.19372691$

Étape 10

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x + 0.38050637 = (3.14159265) - 0.18677946$

Étape 11

Résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Soustrayez $0.18677946$ de $3.14159265$ .

$x + 0.38050637 = 2.95481319$

Étape 11.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 11.2.1

Soustrayez $0.38050637$ des deux côtés de l’équation.

$x = 2.95481319 - 0.38050637$

Étape 11.2.2

Soustrayez $0.38050637$ de $2.95481319$ .

$x = 2.57430681$

Étape 12

Déterminez la période de $\sin (x + 0.38050637)$ .

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Étape 12.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 13

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 13.1

Ajoutez $2 π$ à $- 0.19372691$ pour déterminer l’angle positif.

$- 0.19372691 + 2 π$

Étape 13.2

Soustrayez $0.19372691$ de $2 π$ .

$6.08945839$

Étape 13.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 6.08945839$

Étape 14

La période de la fonction $\sin (x + 0.38050637)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2.57430681 + 2 π n, 6.08945839 + 2 π n$ , pour tout entier $n$