Trigonométrie Exemples

$6 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = 3$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $6 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = 3$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $6 \csc^{2} (\frac{x}{2}) = 3$ par $6$ .

$\frac{6 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{6} = \frac{3}{6}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \csc^{2} (\frac{x}{2})}{6} = \frac{3}{6}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $\csc^{2} (\frac{x}{2})$ par $1$ .

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{3}{6}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{3 (1)}{6}$

Étape 1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Étape 1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Étape 1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\csc^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

Étape 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 3.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (\frac{x}{2}) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\csc (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\csc (\frac{x}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\csc (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\csc (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\csc (\frac{x}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6

Résolvez $x$ dans $\csc (\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 6.1

La plage de la cosécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $\frac{\sqrt{2}}{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 7

Résolvez $x$ dans $\csc (\frac{x}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 7.1

La plage de la cosécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution