Trigonométrie Exemples

$\tan (75) = \frac{20}{x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{20}{x} = \tan (75)$ .

$\frac{20}{x} = \tan (75)$

Étape 2

La valeur exacte de $\tan (75)$ est $2 + \sqrt{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{20}{x} = \tan (30 + 45)$

Étape 2.2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\frac{20}{x} = \frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Étape 2.3

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Étape 2.4

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Étape 2.5

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

Étape 2.6

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Étape 2.7

Simplifiez $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.1

Multipliez $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Étape 2.7.1.2

Associez.

$\frac{20}{x} = \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Étape 2.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{20}{x} = \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Étape 2.7.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20}{x} = \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Étape 2.7.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Étape 2.7.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Étape 2.7.5

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

Étape 2.7.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 2.7.5.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Étape 2.7.5.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

Étape 2.7.5.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$

Étape 2.7.6

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ par $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Étape 2.7.7

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ par $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Étape 2.7.8

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{20}{x} = \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.7.9

Simplifiez

$\frac{20}{x} = \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Étape 2.7.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{20}{x} = \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Étape 2.7.10.2

Élevez $3 + \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Étape 2.7.10.3

Élevez $3 + \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Étape 2.7.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{20}{x} = \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Étape 2.7.10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{20}{x} = \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Étape 2.7.11

Réécrivez ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

$\frac{20}{x} = \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

Étape 2.7.12

Développez $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{20}{x} = \frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Étape 2.7.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{20}{x} = \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Étape 2.7.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{20}{x} = \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Étape 2.7.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.13.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Étape 2.7.13.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Étape 2.7.13.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

Étape 2.7.13.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

Étape 2.7.13.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

Étape 2.7.13.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Étape 2.7.13.2

Additionnez $9$ et $3$ .

$\frac{20}{x} = \frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6}$

Étape 2.7.13.3

Additionnez $3 \sqrt{3}$ et $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Étape 2.7.14

Annulez le facteur commun à $12 + 6 \sqrt{3}$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.14.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$\frac{20}{x} = \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6}$

Étape 2.7.14.2

Factorisez $6$ à partir de $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{20}{x} = \frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6}$

Étape 2.7.14.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

$\frac{20}{x} = \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6}$

Étape 2.7.14.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.14.4.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\frac{20}{x} = \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)}$

Étape 2.7.14.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{20}{x} = \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Étape 2.7.14.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{20}{x} = \frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Étape 2.7.14.4.4

Divisez $2 + \sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{20}{x} = 2 + \sqrt{3}$

Étape 3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1, 1$

Étape 3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 4

Multiplier chaque terme dans $\frac{20}{x} = 2 + \sqrt{3}$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{20}{x} = 2 + \sqrt{3}$ par $x$ .

$\frac{20}{x} x = 2 x + \sqrt{3} x$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20}{x} x = 2 x + \sqrt{3} x$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$20 = 2 x + \sqrt{3} x$

Étape 5

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $2 x + \sqrt{3} x = 20$ .

$2 x + \sqrt{3} x = 20$

Étape 5.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x + \sqrt{3} x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$x \cdot 2 + \sqrt{3} x = 20$

Étape 5.2.2

Factorisez $x$ à partir de $\sqrt{3} x$ .

$x \cdot 2 + x \sqrt{3} = 20$

Étape 5.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 2 + x \sqrt{3}$ .

$x (2 + \sqrt{3}) = 20$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $x (2 + \sqrt{3}) = 20$ par $2 + \sqrt{3}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $x (2 + \sqrt{3}) = 20$ par $2 + \sqrt{3}$ .

$\frac{x (2 + \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}} = \frac{20}{2 + \sqrt{3}}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 + \sqrt{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (2 + \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}} = \frac{20}{2 + \sqrt{3}}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{20}{2 + \sqrt{3}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Multipliez $\frac{20}{2 + \sqrt{3}}$ par $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ .

$x = \frac{20}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $\frac{20}{2 + \sqrt{3}}$ par $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ .

$x = \frac{20 (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}$

Étape 5.3.3.3

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$x = \frac{20 (2 - \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.3.3.4

Simplifiez

$x = \frac{20 (2 - \sqrt{3})}{1}$

Étape 5.3.3.5

Divisez $20 (2 - \sqrt{3})$ par $1$ .

$x = 20 (2 - \sqrt{3})$

Étape 5.3.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$x = 20 \cdot 2 + 20 (- \sqrt{3})$

Étape 5.3.3.7

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.7.1

Multipliez $20$ par $2$ .

$x = 40 + 20 (- \sqrt{3})$

Étape 5.3.3.7.2

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$x = 40 - 20 \sqrt{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 40 - 20 \sqrt{3}$

Forme décimale :

$x = 5.35898384 \dots$