Trigonométrie Exemples

$\tan (x) = \csc (2 x) - \cot (2 x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \csc (2 x) - \cot (2 x)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\csc (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\sin (2 x)} - \cot (2 x)$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\cot (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\sin (2 x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\sin (2 x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (\frac{1}{\sin (2 x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = \cos (x) (\frac{1}{\sin (2 x)} - \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) = \cos (x) \frac{1}{\sin (2 x)} + \cos (x) (- \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})$

Étape 6

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\sin (2 x)}$ .

$\sin (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (2 x)} + \cos (x) (- \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})$

Étape 7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sin (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (2 x)} - \cos (x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Étape 8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (x) = \frac{\cos (x)}{2 \sin (x) \cos (x)} - \cos (x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) = \frac{\cos (x)}{2 \sin (x) \cos (x)} - \cos (x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Étape 8.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = \frac{1}{2 \sin (x)} - \cos (x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Étape 8.3

Associez $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ et $\cos (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2 \sin (x)} - \frac{\cos (2 x) \cos (x)}{\sin (2 x)}$

Étape 8.4

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2 \sin (x)} - \frac{(2 \cos^{2} (x) - 1) \cos (x)}{\sin (2 x)}$

Étape 8.5

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (x) = \frac{1}{2 \sin (x)} - \frac{(2 \cos^{2} (x) - 1) \cos (x)}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Étape 8.6

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 8.6.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) = \frac{1}{2 \sin (x)} - \frac{(2 \cos^{2} (x) - 1) \cos (x)}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Étape 8.6.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = \frac{1}{2 \sin (x)} - \frac{2 \cos^{2} (x) - 1}{2 \sin (x)}$

Étape 8.7

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\sin (x) = \frac{1}{2 \sin (x)} - \frac{\cos (2 x)}{2 \sin (x)}$

Étape 9

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2 \sin (x)} - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \sin (x)}$

Étape 10

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 10.1

Soustrayez $\frac{1}{2 \sin (x)}$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) - \frac{1}{2 \sin (x)} = - \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \sin (x)}$

Étape 10.2

Ajoutez $\frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \sin (x)}$ aux deux côtés de l’équation.

$\sin (x) - \frac{1}{2 \sin (x)} + \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \sin (x)} = 0$

Étape 11

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.1

Simplifiez $\sin (x) - \frac{1}{2 \sin (x)} + \frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \sin (x)}$ .

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Étape 11.1.1

Associez les fractions.

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Étape 11.1.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sin (x) + \frac{- 1 + 1 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \sin (x)} = 0$

Étape 11.1.1.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 11.1.1.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\sin (x) + \frac{0 - 2 \sin^{2} (x)}{2 \sin (x)} = 0$

Étape 11.1.1.2.2

Soustrayez $2 \sin^{2} (x)$ de $0$ .

$\sin (x) + \frac{- 2 \sin^{2} (x)}{2 \sin (x)} = 0$

Étape 11.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.2.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 11.1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) + \frac{2 (- \sin^{2} (x))}{2 \sin (x)} = 0$

Étape 11.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sin (x)$ .

$\sin (x) + \frac{2 (- \sin^{2} (x))}{2 (\sin (x))} = 0$

Étape 11.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) + \frac{2 (- \sin^{2} (x))}{2 \sin (x)} = 0$

Étape 11.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\sin (x)} = 0$

Étape 11.1.2.2

Annulez le facteur commun à $\sin^{2} (x)$ et $\sin (x)$ .

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Étape 11.1.2.2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x)} = 0$

Étape 11.1.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} = 0$

Étape 11.1.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) + \frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} = 0$

Étape 11.1.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + \frac{- \sin (x)}{1} = 0$

Étape 11.1.2.2.2.4

Divisez $- \sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) - \sin (x) = 0$

Étape 11.1.3

Soustrayez $\sin (x)$ de $\sin (x)$ .

$0 = 0$

Étape 12

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$