Trigonométrie Exemples

$\sec (\frac{5 π}{3} - \frac{3 π}{4}) = \csc (x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\csc (x) = \sec (\frac{5 π}{3} - \frac{3 π}{4})$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π}{3} - \frac{3 π}{4})$

Étape 2

Simplifiez $\sec (\frac{5 π}{3} - \frac{3 π}{4})$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{5 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4})$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{3 π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{5 π}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 2.3.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 2.3.3

Multipliez $\frac{3 π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{3 π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Étape 2.3.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π \cdot 4}{12} - \frac{3 π \cdot 3}{12})$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\csc (x) = \sec (\frac{5 π \cdot 4 - 3 π \cdot 3}{12})$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{20 π - 3 π \cdot 3}{12})$

Étape 2.5.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{20 π - 9 π}{12})$

Étape 2.5.3

Soustrayez $9 π$ de $20 π$ .

$\csc (x) = \sec (\frac{11 π}{12})$

Étape 2.6

La valeur exacte de $\sec (\frac{11 π}{12})$ est $- \sqrt{6} + \sqrt{2}$ .

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Étape 2.6.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la sécante est négative dans le deuxième quadrant.

$\csc (x) = - \sec (\frac{π}{12})$

Étape 2.6.2

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\csc (x) = - \sec (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Étape 2.6.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\csc (x) = - \frac{\sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6}) \csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Étape 2.6.4

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \sec (\frac{π}{6}) \csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Étape 2.6.5

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{6})$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Étape 2.6.6

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{4})$ est $\sqrt{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \csc (\frac{π}{6})}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Étape 2.6.7

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{6})$ est $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\csc (\frac{π}{4}) \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Étape 2.6.8

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{4})$ est $\sqrt{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \csc (\frac{π}{6}) + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Étape 2.6.9

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{6})$ est $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \sec (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{6})}$

Étape 2.6.10

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \sec (\frac{π}{6})}$

Étape 2.6.11

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{6})$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12

Simplifiez $- \frac{\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$ .

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Étape 2.6.12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.12.1.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}} \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12.1.2

Associez $\frac{2 \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}$ et $\sqrt{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}} \cdot 2}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12.1.3

Associez $\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}}$ et $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\sqrt{2} \cdot 2 + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.6.12.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \cdot \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12.2.2

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12.2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.6.12.2.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12.2.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12.2.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.6.12.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12.2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.12.2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12.2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12.2.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.12.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12.2.5

Associez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ et $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{2}}$

Étape 2.6.12.2.6

Associez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ et $\sqrt{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12.2.7

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12.2.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.6.12.2.8.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12.2.8.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}$

Étape 2.6.12.2.8.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}$

Étape 2.6.12.2.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}$

Étape 2.6.12.2.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}$

Étape 2.6.12.2.8.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.6.12.2.8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Étape 2.6.12.2.8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Étape 2.6.12.2.8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 2.6.12.2.8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.12.2.8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 2.6.12.2.8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}}$

Étape 2.6.12.2.8.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3}}$

Étape 2.6.12.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.12.2.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3}}$

Étape 2.6.12.2.9.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.2.10

Pour écrire $2 \sqrt{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.2.11

Associez $2 \sqrt{2}$ et $\frac{3}{3}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + \frac{2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2} \cdot 3 + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.2.13

Multipliez $3$ par $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.12.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{4 \sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.6.12.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\csc (x) = - \frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.12.5.1

Associez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{6}$ en un radical unique.

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{\frac{2}{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.5.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 2.6.12.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{\frac{2 (1)}{6}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.12.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{\frac{1}{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.5.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.5.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.5.5

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{8 (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.5.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.6.12.5.6.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.5.6.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.5.6.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.5.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.5.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.5.6.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.6.12.5.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.5.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.5.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.5.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.12.5.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.5.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.5.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (x) = - \frac{8 \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.5.7

Associez $8$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\csc (x) = - \frac{\frac{8 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}{3}}$

Étape 2.6.12.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\csc (x) = - (\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}})$

Étape 2.6.12.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.6.12.7.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = - (\frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}})$

Étape 2.6.12.7.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = - (8 \sqrt{3} \frac{1}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}})$

Étape 2.6.12.8

Associez $\frac{1}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$ et $8$ .

$\csc (x) = - (\frac{8}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}} \sqrt{3})$

Étape 2.6.12.9

Associez $\frac{8}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$ et $\sqrt{3}$ .

$\csc (x) = - \frac{8 \sqrt{3}}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$

Étape 2.6.12.10

Annulez le facteur commun à $8$ et $6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}$ .

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Étape 2.6.12.10.1

Factorisez $2$ à partir de $8 \sqrt{3}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 (4 \sqrt{3})}{6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{6}}$

Étape 2.6.12.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.12.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2}) + 2 \sqrt{6}}$

Étape 2.6.12.10.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{6}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2}) + 2 (\sqrt{6})}$

Étape 2.6.12.10.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 \sqrt{2}) + 2 (\sqrt{6})$ .

$\csc (x) = - \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}$

Étape 2.6.12.10.2.4

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = - \frac{2 (4 \sqrt{3})}{2 (3 \sqrt{2} + \sqrt{6})}$

Étape 2.6.12.10.2.5

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = - \frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Étape 2.6.12.11

Multipliez $\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ par $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\csc (x) = - (\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}} \cdot \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}})$

Étape 2.6.12.12

Multipliez $\frac{4 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}$ par $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\csc (x) = - \frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{(3 \sqrt{2} + \sqrt{6}) (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}$

Étape 2.6.12.13

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\csc (x) = - \frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{9 {\sqrt{2}}^{2} - 3 \sqrt{12} + 3 \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 2.6.12.14

Simplifiez

$\csc (x) = - \frac{4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{12}$

Étape 2.6.12.15

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

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Étape 2.6.12.15.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})$ .

$\csc (x) = - \frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6}))}{12}$

Étape 2.6.12.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.12.15.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\csc (x) = - \frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6}))}{4 \cdot 3}$

Étape 2.6.12.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = - \frac{4 (\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6}))}{4 \cdot 3}$

Étape 2.6.12.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = - \frac{\sqrt{3} (3 \sqrt{2} - \sqrt{6})}{3}$

Étape 2.6.12.16

Appliquez la propriété distributive.

$\csc (x) = - \frac{\sqrt{3} (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} (- \sqrt{6})}{3}$

Étape 2.6.12.17

Multipliez $\sqrt{3} (3 \sqrt{2})$ .

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Étape 2.6.12.17.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{3 \cdot 2} + \sqrt{3} (- \sqrt{6})}{3}$

Étape 2.6.12.17.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} + \sqrt{3} (- \sqrt{6})}{3}$

Étape 2.6.12.18

Multipliez $\sqrt{3} (- \sqrt{6})$ .

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Étape 2.6.12.18.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{3 \cdot 6}}{3}$

Étape 2.6.12.18.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{18}}{3}$

Étape 2.6.12.19

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.12.19.1

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.6.12.19.1.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{9 (2)}}{3}$

Étape 2.6.12.19.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - \sqrt{3^{2} \cdot 2}}{3}$

Étape 2.6.12.19.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - (3 \sqrt{2})}{3}$

Étape 2.6.12.19.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\csc (x) = - \frac{3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}}{3}$

Étape 2.6.12.20

Annulez le facteur commun à $3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}$ et $3$ .

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Étape 2.6.12.20.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{6}$ .

$\csc (x) = - \frac{3 (\sqrt{6}) - 3 \sqrt{2}}{3}$

Étape 2.6.12.20.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 \sqrt{2}$ .

$\csc (x) = - \frac{3 (\sqrt{6}) + 3 (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 2.6.12.20.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (\sqrt{6}) + 3 (- \sqrt{2})$ .

$\csc (x) = - \frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3}$

Étape 2.6.12.20.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.12.20.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\csc (x) = - \frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3 (1)}$

Étape 2.6.12.20.4.2

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = - \frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{3 \cdot 1}$

Étape 2.6.12.20.4.3

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{1}$

Étape 2.6.12.20.4.4

Divisez $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ par $1$ .

$\csc (x) = - (\sqrt{6} - \sqrt{2})$

Étape 2.6.12.21

Appliquez la propriété distributive.

$\csc (x) = - \sqrt{6} - - \sqrt{2}$

Étape 2.6.12.22

Multipliez $- - \sqrt{2}$ .

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Étape 2.6.12.22.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\csc (x) = - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}$

Étape 2.6.12.22.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\csc (x) = - \sqrt{6} + \sqrt{2}$

Étape 3

Convertissez le côté droit de l’équation en son équivalent décimal.

$\csc (x) = - 1.03527618$

Étape 4

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (- 1.03527618)$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

Évaluez $arccsc (- 1.03527618)$ .

$x = - \frac{5 π}{12}$

Étape 6

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{5 π}{12} + π$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 7.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{5 π}{12} + π$ .

$x = 2 π + \frac{5 π}{12} + π - 2 π$

Étape 7.2

L’angle résultant de $\frac{17 π}{12}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{5 π}{12} + π$ .

$x = \frac{17 π}{12}$

Étape 8

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 8.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 9

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 9.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{5 π}{12}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{5 π}{12} + 2 π$

Étape 9.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Étape 9.3

Associez les fractions.

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Étape 9.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{12}{12}$ .

$\frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Étape 9.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 12 - 5 π}{12}$

Étape 9.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.1

Multipliez $12$ par $2$ .

$\frac{24 π - 5 π}{12}$

Étape 9.4.2

Soustrayez $5 π$ de $24 π$ .

$\frac{19 π}{12}$

Étape 9.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{19 π}{12}$

Étape 10

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{17 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n$ , pour tout entier $n$