Trigonométrie Exemples

$\log (8 x) - \log (5 + \sqrt{x}) = 2$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{8 x}{5 + \sqrt{x}}) = 2$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{8 x}{5 + \sqrt{x}}$ par $\frac{5 - \sqrt{x}}{5 - \sqrt{x}}$ .

$\log (\frac{8 x}{5 + \sqrt{x}} \cdot \frac{5 - \sqrt{x}}{5 - \sqrt{x}}) = 2$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{8 x}{5 + \sqrt{x}}$ par $\frac{5 - \sqrt{x}}{5 - \sqrt{x}}$ .

$\log (\frac{8 x (5 - \sqrt{x})}{(5 + \sqrt{x}) (5 - \sqrt{x})}) = 2$

Étape 1.4

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\log (\frac{8 x (5 - \sqrt{x})}{25 - 5 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 5 - {\sqrt{x}}^{2}}) = 2$

Étape 1.5

Simplifiez

$\log (\frac{8 x (5 - \sqrt{x})}{- x + 25}) = 2$

Étape 2

Réécrivez $\log (\frac{8 x (5 - \sqrt{x})}{- x + 25}) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{2} = \frac{8 x (5 - \sqrt{x})}{- x + 25}$

Étape 3

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$8 x (5 - \sqrt{x}) = 10^{2} (- x + 25)$

Étape 4

Simplifiez $10^{2} (- x + 25)$ .

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Étape 4.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$8 x (5 - \sqrt{x}) = 100 (- x + 25)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$8 x (5 - \sqrt{x}) = 100 (- x) + 100 \cdot 25$

Étape 4.3

Multipliez.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $100$ .

$8 x (5 - \sqrt{x}) = - 100 x + 100 \cdot 25$

Étape 4.3.2

Multipliez $100$ par $25$ .

$8 x (5 - \sqrt{x}) = - 100 x + 2500$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Ajoutez $100 x$ aux deux côtés de l’équation.

$8 x (5 - \sqrt{x}) + 100 x = 2500$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 x \cdot 5 + 8 x (- \sqrt{x}) + 100 x = 2500$

Étape 5.2.2

Multipliez $5$ par $8$ .

$40 x + 8 x (- \sqrt{x}) + 100 x = 2500$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$40 x - 8 x \sqrt{x} + 100 x = 2500$

Étape 5.3

Additionnez $40 x$ et $100 x$ .

$- 8 x \sqrt{x} + 140 x = 2500$

Étape 6

Factorisez $4 x$ à partir de $- 8 x \sqrt{x} + 140 x$ .

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Étape 6.1

Factorisez $4 x$ à partir de $- 8 x \sqrt{x}$ .

$4 x (- 2 \sqrt{x}) + 140 x = 2500$

Étape 6.2

Factorisez $4 x$ à partir de $140 x$ .

$4 x (- 2 \sqrt{x}) + 4 x (35) = 2500$

Étape 6.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (- 2 \sqrt{x}) + 4 x (35)$ .

$4 x (- 2 \sqrt{x} + 35) = 2500$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $4 x (- 2 \sqrt{x} + 35) = 2500$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $4 x (- 2 \sqrt{x} + 35) = 2500$ par $4$ .

$\frac{4 x (- 2 \sqrt{x} + 35)}{4} = \frac{2500}{4}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x (- 2 \sqrt{x} + 35)}{4} = \frac{2500}{4}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $x (- 2 \sqrt{x} + 35)$ par $1$ .

$x (- 2 \sqrt{x} + 35) = \frac{2500}{4}$

Étape 7.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (- 2 \sqrt{x}) + x \cdot 35 = \frac{2500}{4}$

Étape 7.2.3

Remettez dans l’ordre.

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Étape 7.2.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 x \sqrt{x} + x \cdot 35 = \frac{2500}{4}$

Étape 7.2.3.2

Déplacez $35$ à gauche de $x$ .

$- 2 x \sqrt{x} + 35 x = \frac{2500}{4}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Divisez $2500$ par $4$ .

$- 2 x \sqrt{x} + 35 x = 625$

Étape 8

Soustrayez $35 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x \sqrt{x} = 625 - 35 x$

Étape 9

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 2 x \sqrt{x})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Étape 10

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Étape 10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.1

Simplifiez ${(- 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 10.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.2.1.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 (x^{\frac{1}{2}} x))}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Étape 10.2.1.1.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 10.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

${(- 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}))}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Étape 10.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(- 2 x^{\frac{1}{2} + 1})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Étape 10.2.1.1.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${(- 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Étape 10.2.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(- 2 x^{\frac{1 + 2}{2}})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Étape 10.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

${(- 2 x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Étape 10.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 2)}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Étape 10.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$4 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Étape 10.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 10.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Étape 10.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Étape 10.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 x^{3} = {(625 - 35 x)}^{2}$

Étape 10.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.1

Simplifiez ${(625 - 35 x)}^{2}$ .

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Étape 10.3.1.1

Réécrivez ${(625 - 35 x)}^{2}$ comme $(625 - 35 x) (625 - 35 x)$ .

$4 x^{3} = (625 - 35 x) (625 - 35 x)$

Étape 10.3.1.2

Développez $(625 - 35 x) (625 - 35 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{3} = 625 (625 - 35 x) - 35 x (625 - 35 x)$

Étape 10.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{3} = 625 \cdot 625 + 625 (- 35 x) - 35 x (625 - 35 x)$

Étape 10.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{3} = 625 \cdot 625 + 625 (- 35 x) - 35 x \cdot 625 - 35 x (- 35 x)$

Étape 10.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.1.3.1.1

Multipliez $625$ par $625$ .

$4 x^{3} = 390625 + 625 (- 35 x) - 35 x \cdot 625 - 35 x (- 35 x)$

Étape 10.3.1.3.1.2

Multipliez $- 35$ par $625$ .

$4 x^{3} = 390625 - 21875 x - 35 x \cdot 625 - 35 x (- 35 x)$

Étape 10.3.1.3.1.3

Multipliez $625$ par $- 35$ .

$4 x^{3} = 390625 - 21875 x - 21875 x - 35 x (- 35 x)$

Étape 10.3.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{3} = 390625 - 21875 x - 21875 x - 35 \cdot - 35 x \cdot x$

Étape 10.3.1.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.3.1.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$4 x^{3} = 390625 - 21875 x - 21875 x - 35 \cdot - 35 (x \cdot x)$

Étape 10.3.1.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{3} = 390625 - 21875 x - 21875 x - 35 \cdot - 35 x^{2}$

Étape 10.3.1.3.1.6

Multipliez $- 35$ par $- 35$ .

$4 x^{3} = 390625 - 21875 x - 21875 x + 1225 x^{2}$

Étape 10.3.1.3.2

Soustrayez $21875 x$ de $- 21875 x$ .

$4 x^{3} = 390625 - 43750 x + 1225 x^{2}$

Étape 11

Résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 11.1.1

Soustrayez $390625$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{3} - 390625 = - 43750 x + 1225 x^{2}$

Étape 11.1.2

Ajoutez $43750 x$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{3} - 390625 + 43750 x = 1225 x^{2}$

Étape 11.1.3

Soustrayez $1225 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{3} - 390625 + 43750 x - 1225 x^{2} = 0$

Étape 11.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 11.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 x^{3} - 1225 x^{2} + 43750 x - 390625 = 0$

Étape 11.2.2

Factorisez $4 x^{3} - 1225 x^{2} + 43750 x - 390625$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 11.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 390625, \pm 5, \pm 78125, \pm 25, \pm 15625, \pm 125, \pm 3125, \pm 625$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 11.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 390625, \pm 97656.25, \pm 195312.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5, \pm 78125, \pm 19531.25, \pm 39062.5, \pm 25, \pm 6.25, \pm 12.5, \pm 15625, \pm 3906.25, \pm 7812.5, \pm 125, \pm 31.25, \pm 62.5, \pm 3125, \pm 781.25, \pm 1562.5, \pm 625, \pm 156.25, \pm 312.5$

Étape 11.2.2.3

Remplacez $25$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $25$ est une racine du polynôme.

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Étape 11.2.2.3.1

Remplacez $25$ dans le polynôme.

$4 \cdot 25^{3} - 1225 \cdot 25^{2} + 43750 \cdot 25 - 390625$

Étape 11.2.2.3.2

Élevez $25$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot 15625 - 1225 \cdot 25^{2} + 43750 \cdot 25 - 390625$

Étape 11.2.2.3.3

Multipliez $4$ par $15625$ .

$62500 - 1225 \cdot 25^{2} + 43750 \cdot 25 - 390625$

Étape 11.2.2.3.4

Élevez $25$ à la puissance $2$ .

$62500 - 1225 \cdot 625 + 43750 \cdot 25 - 390625$

Étape 11.2.2.3.5

Multipliez $- 1225$ par $625$ .

$62500 - 765625 + 43750 \cdot 25 - 390625$

Étape 11.2.2.3.6

Soustrayez $765625$ de $62500$ .

$- 703125 + 43750 \cdot 25 - 390625$

Étape 11.2.2.3.7

Multipliez $43750$ par $25$ .

$- 703125 + 1093750 - 390625$

Étape 11.2.2.3.8

Additionnez $- 703125$ et $1093750$ .

$390625 - 390625$

Étape 11.2.2.3.9

Soustrayez $390625$ de $390625$ .

$0$

Étape 11.2.2.4

Comme $25$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 25$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{3} - 1225 x^{2} + 43750 x - 390625}{x - 25}$

Étape 11.2.2.5

Divisez $4 x^{3} - 1225 x^{2} + 43750 x - 390625$ par $x - 25$ .

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Étape 11.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$25$

$4 x^{3}$

$1225 x^{2}$

$43750 x$

$390625$

Étape 11.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$

Étape 11.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			+	$4 x^{3}$	-	$100 x^{2}$

Étape 11.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{3} - 100 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$

Étape 11.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$

Étape 11.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$

Étape 11.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 1125 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$

Étape 11.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					-	$1125 x^{2}$	+	$28125 x$

Étape 11.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 1125 x^{2} + 28125 x$

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					+	$1125 x^{2}$	-	$28125 x$

Étape 11.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					+	$1125 x^{2}$	-	$28125 x$
							+	$15625 x$

Étape 11.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					+	$1125 x^{2}$	-	$28125 x$
							+	$15625 x$	-	$390625$

Étape 11.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $15625 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$	+	$15625$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					+	$1125 x^{2}$	-	$28125 x$
							+	$15625 x$	-	$390625$

Étape 11.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$	+	$15625$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					+	$1125 x^{2}$	-	$28125 x$
							+	$15625 x$	-	$390625$
							+	$15625 x$	-	$390625$

Étape 11.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $15625 x - 390625$

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$	+	$15625$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					+	$1125 x^{2}$	-	$28125 x$
							+	$15625 x$	-	$390625$
							-	$15625 x$	+	$390625$

Étape 11.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$4 x^{2}$	-	$1125 x$	+	$15625$
$x$	-	$25$		$4 x^{3}$	-	$1225 x^{2}$	+	$43750 x$	-	$390625$
			-	$4 x^{3}$	+	$100 x^{2}$
					-	$1125 x^{2}$	+	$43750 x$
					+	$1125 x^{2}$	-	$28125 x$
							+	$15625 x$	-	$390625$
							-	$15625 x$	+	$390625$
										$0$

Étape 11.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$4 x^{2} - 1125 x + 15625$

Étape 11.2.2.6

Écrivez $4 x^{3} - 1225 x^{2} + 43750 x - 390625$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 25) (4 x^{2} - 1125 x + 15625) = 0$

Étape 11.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 25 = 0$

$4 x^{2} - 1125 x + 15625 = 0$

Étape 11.4

Définissez $x - 25$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.4.1

Définissez $x - 25$ égal à $0$ .

$x - 25 = 0$

Étape 11.4.2

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 25$

Étape 11.5

Définissez $4 x^{2} - 1125 x + 15625$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.5.1

Définissez $4 x^{2} - 1125 x + 15625$ égal à $0$ .

$4 x^{2} - 1125 x + 15625 = 0$

Étape 11.5.2

Résolvez $4 x^{2} - 1125 x + 15625 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 11.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 1125$ et $c = 15625$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{1125 \pm \sqrt{{(- 1125)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 15625)}}{2 \cdot 4}$

Étape 11.5.2.3

Simplifiez

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Étape 11.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.5.2.3.1.1

Élevez $- 1125$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1125 \pm \sqrt{1265625 - 4 \cdot 4 \cdot 15625}}{2 \cdot 4}$

Étape 11.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 15625$ .

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Étape 11.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{1125 \pm \sqrt{1265625 - 16 \cdot 15625}}{2 \cdot 4}$

Étape 11.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $15625$ .

$x = \frac{1125 \pm \sqrt{1265625 - 250000}}{2 \cdot 4}$

Étape 11.5.2.3.1.3

Soustrayez $250000$ de $1265625$ .

$x = \frac{1125 \pm \sqrt{1015625}}{2 \cdot 4}$

Étape 11.5.2.3.1.4

Réécrivez $1015625$ comme $125^{2} \cdot 65$ .

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Étape 11.5.2.3.1.4.1

Factorisez $15625$ à partir de $1015625$ .

$x = \frac{1125 \pm \sqrt{15625 (65)}}{2 \cdot 4}$

Étape 11.5.2.3.1.4.2

Réécrivez $15625$ comme $125^{2}$ .

$x = \frac{1125 \pm \sqrt{125^{2} \cdot 65}}{2 \cdot 4}$

Étape 11.5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{1125 \pm 125 \sqrt{65}}{2 \cdot 4}$

Étape 11.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{1125 \pm 125 \sqrt{65}}{8}$

Étape 11.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1125 + 125 \sqrt{65}}{8}, \frac{1125 - 125 \sqrt{65}}{8}$

Étape 11.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 25) (4 x^{2} - 1125 x + 15625) = 0$ vraie.

$x = 25, \frac{1125 + 125 \sqrt{65}}{8}, \frac{1125 - 125 \sqrt{65}}{8}$

Étape 12

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log (8 x) - \log (5 + \sqrt{x}) = 2$ vrai.

$x = \frac{1125 + 125 \sqrt{65}}{8}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{1125 + 125 \sqrt{65}}{8}$

Forme décimale :

$x = 266.59777731 \dots$