Trigonométrie Exemples

$\sin (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{2}$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{x}{2} = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{6}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{6})$

Étape 4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{6})$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (- \frac{π}{6})$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{π}{6})$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{6}$ dans le numérateur.

$x = 2 \frac{- π}{6}$

Étape 4.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = 2 \frac{- π}{2 (3)}$

Étape 4.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- π}{3}$

Étape 4.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{π}{3}$

Étape 5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 6.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{7 π}{6}$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{6}$

Étape 6.3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{7 π}{6}$

Étape 6.3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \frac{7 π}{6}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = 2 \frac{7 π}{2 (3)}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{7 π}{2 \cdot 3}$

Étape 6.3.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{7 π}{3}$

Étape 7

Déterminez la période de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 7.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 7.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 8

Ajoutez $4 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 8.1

Ajoutez $4 π$ à $- \frac{π}{3}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{3} + 4 π$

Étape 8.2

Pour écrire $4 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$4 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 8.3

Associez les fractions.

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Étape 8.3.1

Associez $4 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 8.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12 π - π}{3}$

Étape 8.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{3}$

Étape 8.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{3}$

Étape 9

La période de la fonction $\sin (\frac{x}{2})$ est $4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{3} + 4 π n, \frac{11 π}{3} + 4 π n$ , pour tout entier $n$