Trigonométrie Exemples

$\ln (x) + \ln ({(x)}^{2}) = 6$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x \cdot x^{2}) = 6$

Étape 1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (x \cdot x^{2}) = 6$

Étape 1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (x^{1 + 2}) = 6$

Étape 1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\ln (x^{3}) = 6$

Étape 2

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x^{3})} = e^{6}$

Étape 3

Réécrivez $\ln (x^{3}) = 6$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{6} = x^{3}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $x^{3} = e^{6}$ .

$x^{3} = e^{6}$

Étape 4.2

Soustrayez $e^{6}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - e^{6} = 0$

Étape 4.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.3.1

Réécrivez $e^{6}$ comme ${(e^{2})}^{3}$ .

$x^{3} - {(e^{2})}^{3} = 0$

Étape 4.3.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = e^{2}$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + {(e^{2})}^{2}) = 0$

Étape 4.3.3

Simplifiez

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Étape 4.3.3.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + e^{2 \cdot 2}) = 0$

Étape 4.3.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + e^{4}) = 0$

Étape 4.3.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x - e^{2}) (e^{4} + x^{2} + e^{2} x) = 0$

Étape 4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - e^{2} = 0$

$e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$

Étape 4.5

Définissez $x - e^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $x - e^{2}$ égal à $0$ .

$x - e^{2} = 0$

Étape 4.5.2

Ajoutez $e^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = e^{2}$

Étape 4.6

Définissez $e^{4} + x^{2} + e^{2} x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $e^{4} + x^{2} + e^{2} x$ égal à $0$ .

$e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$

Étape 4.6.2

Résolvez $e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = e^{2}$ et $c = e^{4}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(e^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3

Simplifiez

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Étape 4.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.2.3.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot e^{4}$ comme ${(2 \cdot 1 \cdot e^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(e^{2})}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot e^{2})}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e^{2}$ et $b = 2 \cdot 1 \cdot e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{(e^{2} + 2 \cdot 1 \cdot e^{2}) (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.3

Simplifiez

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Étape 4.6.2.3.1.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{(e^{2} + 2 \cdot e^{2}) (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.3.2

Additionnez $e^{2}$ et $2 e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.3.3

Associez les exposants.

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Étape 4.6.2.3.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - (2 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.3.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - 2 e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.4

Soustrayez $2 e^{2}$ de $e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.5

Associez les exposants.

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Étape 4.6.2.3.1.5.1

Factorisez le signe négatif.

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{2} e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.5.2

Multipliez $e^{2}$ par $e^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.6.2.3.1.5.2.1

Déplacez $e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 (e^{2} e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{2 + 2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.5.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.5.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- 3 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.6

Réécrivez $- 3 e^{4}$ comme ${(i e^{2})}^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.6.2.3.1.6.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 3 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.6.2

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} \cdot (3 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.6.3

Réécrivez $e^{4}$ comme ${(e^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} \cdot (3 {(e^{2})}^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.6.4

Déplacez $3$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} {(e^{2})}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.6.5

Réécrivez $i^{2} {(e^{2})}^{2}$ comme ${(i e^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(i e^{2})}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- e^{2} \pm i e^{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm i e^{2} \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{e^{2} - i e^{2} \sqrt{3}}{2}, - \frac{e^{2} + i e^{2} \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - e^{2}) (e^{4} + x^{2} + e^{2} x) = 0$ vraie.

$x = e^{2}, - \frac{e^{2} - i e^{2} \sqrt{3}}{2}, - \frac{e^{2} + i e^{2} \sqrt{3}}{2}$