Trigonométrie Exemples

$\tan (\frac{x}{2}) - 1 = 0$ , $0 < x < 2 π$

Étape 1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\tan (\frac{x}{2}) = 1$

Étape 2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$\frac{x}{2} = \arctan (1)$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Étape 4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Étape 5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Étape 5.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 5.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π}{2}$

Étape 6

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{x}{2} = π + \frac{π}{4}$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π + \frac{π}{4})$

Étape 7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π + \frac{π}{4})$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (π + \frac{π}{4})$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez $2 (π + \frac{π}{4})$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

Étape 7.2.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 7.2.2.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4})$

Étape 7.2.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 7.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.1.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{2 (2)}$

Étape 7.2.2.1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.2.1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{2}$

Étape 7.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.1.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{2}$

Étape 7.2.2.1.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{2}$

Étape 8

Déterminez la période de $\tan (\frac{x}{2})$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 8.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Étape 8.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$π \cdot 2$

Étape 8.5

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$2 π$

Étape 9

La période de la fonction $\tan (\frac{x}{2})$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $(0, 2 π)$ .

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Étape 11.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{π}{2} + 2 π (0)$

Étape 11.2

Simplifiez

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Étape 11.2.1

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{π}{2} + 0 π$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Étape 11.2.2

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 11.3

L’intervalle $(0, 2 π)$ contient $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$