Trigonométrie Exemples

$\cot (x) = \sqrt{3}$ , $(0, 2 π)$

Étape 1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (\sqrt{3})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $arccot (\sqrt{3})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 3

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{6}$

Étape 4

Simplifiez $π + \frac{π}{6}$ .

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Étape 4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Étape 4.3.2

Additionnez $6 π$ et $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 5

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 6

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Déterminez les valeurs de $n$ qui produisent une valeur sur l’intervalle $(0, 2 π)$ .

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Étape 8.1

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $(0, 2 π)$ .

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Étape 8.1.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{π}{6} + π (0)$

Étape 8.1.2

Simplifiez

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $π$ par $0$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Étape 8.1.2.2

Additionnez $\frac{π}{6}$ et $0$ .

$\frac{π}{6}$

Étape 8.1.3

L’intervalle $(0, 2 π)$ contient $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 8.2

Insérez $1$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $(0, 2 π)$ .

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Étape 8.2.1

Insérez $1$ pour $n$ .

$\frac{π}{6} + π (1)$

Étape 8.2.2

Simplifiez

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Étape 8.2.2.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{π}{6} + π$

Étape 8.2.2.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

Étape 8.2.2.3

Associez les fractions.

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Étape 8.2.2.3.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

Étape 8.2.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π + π \cdot 6}{6}$

Étape 8.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.4.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$\frac{π + 6 \cdot π}{6}$

Étape 8.2.2.4.2

Additionnez $π$ et $6 π$ .

$\frac{7 π}{6}$

Étape 8.2.3

L’intervalle $(0, 2 π)$ contient $\frac{7 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$