Trigonométrie Exemples

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $[0, 2 π]$

Étape 1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Étape 4

Simplifiez $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

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Étape 4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Étape 4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $5 π$ de $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Déterminez les valeurs de $n$ qui produisent une valeur sur l’intervalle $[0, 2 π]$ .

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Étape 7.1

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π]$ .

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Étape 7.1.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{5 π}{6} + 2 π (0)$

Étape 7.1.2

Simplifiez

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 7.1.2.1.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{5 π}{6} + 0 π$

Étape 7.1.2.1.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$\frac{5 π}{6} + 0$

Étape 7.1.2.2

Additionnez $\frac{5 π}{6}$ et $0$ .

$\frac{5 π}{6}$

Étape 7.1.3

L’intervalle $[0, 2 π]$ contient $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 7.2

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π]$ .

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Étape 7.2.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{7 π}{6} + 2 π (0)$

Étape 7.2.2

Simplifiez

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Étape 7.2.2.1

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{7 π}{6} + 0 π$

Étape 7.2.2.1.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$\frac{7 π}{6} + 0$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $\frac{7 π}{6}$ et $0$ .

$\frac{7 π}{6}$

Étape 7.2.3

L’intervalle $[0, 2 π]$ contient $\frac{7 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$