Trigonométrie Exemples

$12 \cos^{2} (x - 9) = 0$ , $0 < x < 2 π$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $12 \cos^{2} (x - 9) = 0$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $12 \cos^{2} (x - 9) = 0$ par $12$ .

$\frac{12 \cos^{2} (x - 9)}{12} = \frac{0}{12}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 \cos^{2} (x - 9)}{12} = \frac{0}{12}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $\cos^{2} (x - 9)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x - 9) = \frac{0}{12}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Divisez $0$ par $12$ .

$\cos^{2} (x - 9) = 0$

Étape 2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\cos (x - 9) = \pm \sqrt{0}$

Étape 3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\cos (x - 9) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (x - 9) = \pm 0$

Étape 3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$\cos (x - 9) = 0$

Étape 4

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x - 9 = \arccos (0)$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x - 9 = \frac{π}{2}$

Étape 6

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{π}{2} + 9$

Étape 7

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x - 9 = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 8.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x - 9 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 8.1.2

Associez les fractions.

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Étape 8.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x - 9 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 8.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x - 9 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 8.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x - 9 = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 8.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x - 9 = \frac{3 π}{2}$

Étape 8.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{3 π}{2} + 9$

Étape 9

Déterminez la période de $\cos (x - 9)$ .

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Étape 9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 9.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 9.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 10

La période de la fonction $\cos (x - 9)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 9 + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 9 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + 9 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Déterminez les valeurs de $n$ qui produisent une valeur sur l’intervalle $(0, 2 π)$ .

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Étape 12.1

Insérez $- 3$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $(0, 2 π)$ .

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Étape 12.1.1

Insérez $- 3$ pour $n$ .

$\frac{π}{2} + 9 + π (- 3)$

Étape 12.1.2

Simplifiez

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Étape 12.1.2.1

Déplacez $- 3$ à gauche de $π$ .

$\frac{π}{2} + 9 - 3 π$

Étape 12.1.2.2

Pour écrire $- 3 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} - 3 π \cdot \frac{2}{2} + 9$

Étape 12.1.2.3

Associez les fractions.

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Étape 12.1.2.3.1

Associez $- 3 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + \frac{- 3 π \cdot 2}{2} + 9$

Étape 12.1.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π - 3 π \cdot 2}{2} + 9$

Étape 12.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.2.4.1.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{π - 6 π}{2} + 9$

Étape 12.1.2.4.1.2

Soustrayez $6 π$ de $π$ .

$\frac{- 5 π}{2} + 9$

Étape 12.1.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 π}{2} + 9$

Étape 12.1.3

L’intervalle $(0, 2 π)$ contient $- \frac{5 π}{2} + 9$ .

$x = - \frac{5 π}{2} + 9$

Étape 12.2

Insérez $- 2$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $(0, 2 π)$ .

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Étape 12.2.1

Insérez $- 2$ pour $n$ .

$\frac{π}{2} + 9 + π (- 2)$

Étape 12.2.2

Simplifiez

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Étape 12.2.2.1

Déplacez $- 2$ à gauche de $π$ .

$\frac{π}{2} + 9 - 2 π$

Étape 12.2.2.2

Pour écrire $- 2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} - 2 π \cdot \frac{2}{2} + 9$

Étape 12.2.2.3

Associez les fractions.

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Étape 12.2.2.3.1

Associez $- 2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + \frac{- 2 π \cdot 2}{2} + 9$

Étape 12.2.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π - 2 π \cdot 2}{2} + 9$

Étape 12.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.2.4.1.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{π - 4 π}{2} + 9$

Étape 12.2.2.4.1.2

Soustrayez $4 π$ de $π$ .

$\frac{- 3 π}{2} + 9$

Étape 12.2.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 π}{2} + 9$

Étape 12.2.3

L’intervalle $(0, 2 π)$ contient $- \frac{3 π}{2} + 9$ .

$x = - \frac{5 π}{2} + 9, - \frac{3 π}{2} + 9$