Trigonométrie Exemples

$4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Complétez le carré pour $4 y^{2} - 8 y$ .

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Étape 1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Étape 1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Étape 1.1.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Étape 1.1.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 4}{4}$

Étape 1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Étape 1.1.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.2.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Étape 1.1.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{1}$

Étape 1.1.3.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.2.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Étape 1.1.4.2.1.3

Divisez $64$ par $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Étape 1.1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - 4$

Étape 1.1.4.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Étape 1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

Étape 1.2

Remplacez $4 y^{2} - 8 y$ par $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ dans l’équation $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4 - 25 x^{2} + 100 x = 196$

Étape 1.3

Déplacez $- 4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 x^{2} + 100 x = 196 + 4$

Étape 1.4

Complétez le carré pour $- 25 x^{2} + 100 x$ .

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Étape 1.4.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 25$

$b = 100$

$c = 0$

Étape 1.4.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.4.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.4.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{100}{2 \cdot - 25}$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.3.2.1

Annulez le facteur commun à $100$ et $2$ .

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Étape 1.4.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $100$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

Étape 1.4.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (- 25)}$

Étape 1.4.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

Étape 1.4.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{50}{- 25}$

Étape 1.4.3.2.2

Annulez le facteur commun à $50$ et $- 25$ .

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Étape 1.4.3.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $50$ .

$d = \frac{25 (2)}{- 25}$

Étape 1.4.3.2.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Étape 1.4.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$d = - 2$

Étape 1.4.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.4.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot - 25}$

Étape 1.4.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.4.2.1.1

Élevez $100$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

Étape 1.4.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

Étape 1.4.4.2.1.3

Divisez $10000$ par $- 100$ .

$e = 0 - - 100$

Étape 1.4.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Étape 1.4.4.2.2

Additionnez $0$ et $100$ .

$e = 100$

Étape 1.4.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ .

$- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$

Étape 1.5

Remplacez $- 25 x^{2} + 100 x$ par $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ dans l’équation $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} + 100 = 196 + 4$

Étape 1.6

Déplacez $100$ du côté droit de l’équation en ajoutant $100$ des deux côtés.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 196 + 4 - 100$

Étape 1.7

Simplifiez $196 + 4 - 100$ .

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Étape 1.7.1

Additionnez $196$ et $4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 200 - 100$

Étape 1.7.2

Soustrayez $100$ de $200$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 100$

Étape 1.8

Divisez chaque terme par $100$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{4 {(y - 1)}^{2}}{100} - \frac{25 {(x - 2)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Étape 1.9

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 5$

$b = 2$

$k = 1$

$h = 2$

Étape 4

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Étape 5

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 5.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Étape 5.2

Simplifiez $\frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ .

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{5}{2} x + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Étape 5.2.1.3

Associez $\frac{5}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Étape 5.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

Étape 5.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

Étape 5.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 1 + 1$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{2} - 5 + 1$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 5$ et $1$ .

$y = \frac{5 x}{2} - 4$

Étape 6

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 6.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Étape 6.2

Simplifiez $- \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ .

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

Étape 6.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{5}{2} x - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Étape 6.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{5}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Étape 6.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{2}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot - 2 + 1$

Étape 6.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

Étape 6.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

Étape 6.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - 5 \cdot - 1 + 1$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + 5 + 1$

Étape 6.2.1.6

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{5 x}{2} + 5 + 1$

Étape 6.2.2

Additionnez $5$ et $1$ .

$y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Étape 7

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Étape 8

Les asymptotes sont $y = \frac{5 x}{2} - 4$ et $y = - \frac{5 x}{2} + 6$ .

Asymptotes : $y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Étape 9