Trigonométrie Exemples

$- 0.5 = 3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) - 2$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) - 2 = - 0.5$ .

$3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) - 2 = - 0.5$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sin (\frac{x}{3})$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) = - 0.5 + 2$

Étape 2.2

Additionnez $- 0.5$ et $2$ .

$3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) = 1.5$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) = 1.5$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $3 \sin^{2} (\frac{x}{3}) = 1.5$ par $3$ .

$\frac{3 \sin^{2} (\frac{x}{3})}{3} = \frac{1.5}{3}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sin^{2} (\frac{x}{3})}{3} = \frac{1.5}{3}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $\sin^{2} (\frac{x}{3})$ par $1$ .

$\sin^{2} (\frac{x}{3}) = \frac{1.5}{3}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Divisez $1.5$ par $3$ .

$\sin^{2} (\frac{x}{3}) = 0.5$

Étape 4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sin (\frac{x}{3}) = \pm \sqrt{0.5}$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (\frac{x}{3}) = \sqrt{0.5}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (\frac{x}{3}) = - \sqrt{0.5}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (\frac{x}{3}) = \sqrt{0.5}, - \sqrt{0.5}$

Étape 6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (\frac{x}{3}) = \sqrt{0.5}$

$\sin (\frac{x}{3}) = - \sqrt{0.5}$

Étape 7

Résolvez $x$ dans $\sin (\frac{x}{3}) = \sqrt{0.5}$ .

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Étape 7.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{x}{3} = \arcsin (\sqrt{0.5})$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

Évaluez $\arcsin (\sqrt{0.5})$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π}{4}$

Étape 7.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{4}$

Étape 7.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{4}$

Étape 7.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 3 \frac{π}{4}$

Étape 7.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.2.1

Associez $3$ et $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 7.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{x}{3} = π - \frac{π}{4}$

Étape 7.6

Résolvez $x$ .

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Étape 7.6.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{4})$

Étape 7.6.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{4})$

Étape 7.6.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 3 (π - \frac{π}{4})$

Étape 7.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.6.2.2.1

Simplifiez $3 (π - \frac{π}{4})$ .

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Étape 7.6.2.2.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 3 (π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})$

Étape 7.6.2.2.1.2

Associez les fractions.

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Étape 7.6.2.2.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = 3 (\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4})$

Étape 7.6.2.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 3 \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 7.6.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.6.2.2.1.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = 3 \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 7.6.2.2.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = 3 \frac{3 π}{4}$

Étape 7.6.2.2.1.4

Multipliez $3 \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 7.6.2.2.1.4.1

Associez $3$ et $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 (3 π)}{4}$

Étape 7.6.2.2.1.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = \frac{9 π}{4}$

Étape 7.7

Déterminez la période de $\sin (\frac{x}{3})$ .

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Étape 7.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.7.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{3}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Étape 7.7.3

$\frac{1}{3}$ est d’environ $0.\overline{3}$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Étape 7.7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 3$

Étape 7.7.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 π$

Étape 7.8

La période de la fonction $\sin (\frac{x}{3})$ est $6 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $6 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + 6 π n, \frac{9 π}{4} + 6 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Résolvez $x$ dans $\sin (\frac{x}{3}) = - \sqrt{0.5}$ .

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Étape 8.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{x}{3} = \arcsin (- \sqrt{0.5})$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\arcsin (- \sqrt{0.5})$ .

$\frac{x}{3} = - \frac{π}{4}$

Étape 8.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (- \frac{π}{4})$

Étape 8.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{x}{3} = 3 (- \frac{π}{4})$

Étape 8.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 3 (- \frac{π}{4})$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez $3 (- \frac{π}{4})$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Multipliez $3 (- \frac{π}{4})$ .

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Étape 8.4.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x = - 3 \frac{π}{4}$

Étape 8.4.2.1.1.2

Associez $- 3$ et $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{- 3 π}{4}$

Étape 8.4.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 π}{4}$

Étape 8.5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$\frac{x}{3} = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Étape 8.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 8.6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$\frac{x}{3} = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Étape 8.6.2

L’angle résultant de $\frac{5 π}{4}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{5 π}{4}$

Étape 8.6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 8.6.3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{5 π}{4}$

Étape 8.6.3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 8.6.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{5 π}{4}$

Étape 8.6.3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 3 \frac{5 π}{4}$

Étape 8.6.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.6.3.2.2.1

Multipliez $3 \frac{5 π}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.6.3.2.2.1.1

Associez $3$ et $\frac{5 π}{4}$ .

$x = \frac{3 (5 π)}{4}$

Étape 8.6.3.2.2.1.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$x = \frac{15 π}{4}$

Étape 8.7

Déterminez la période de $\sin (\frac{x}{3})$ .

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Étape 8.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.7.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{3}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Étape 8.7.3

$\frac{1}{3}$ est d’environ $0.\overline{3}$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Étape 8.7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 3$

Étape 8.7.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 π$

Étape 8.8

Ajoutez $6 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 8.8.1

Ajoutez $6 π$ à $- \frac{3 π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{3 π}{4} + 6 π$

Étape 8.8.2

Pour écrire $6 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$6 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 8.8.3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.8.3.1

Associez $6 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{6 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 8.8.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Étape 8.8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.8.4.1

Multipliez $4$ par $6$ .

$\frac{24 π - 3 π}{4}$

Étape 8.8.4.2

Soustrayez $3 π$ de $24 π$ .

$\frac{21 π}{4}$

Étape 8.8.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{21 π}{4}$

Étape 8.9

La période de la fonction $\sin (\frac{x}{3})$ est $6 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $6 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{15 π}{4} + 6 π n, \frac{21 π}{4} + 6 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{3 π}{4} + 6 π n, \frac{9 π}{4} + 6 π n, \frac{15 π}{4} + 6 π n, \frac{21 π}{4} + 6 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Consolidez les réponses.

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{3 π n}{2}$ , pour tout entier $n$