Trigonométrie Exemples

$4 \sin^{2} (x) = 2 \cos (x) + 1$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $2 \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$4 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 1$

Étape 1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$4 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 2

Remplacez le $4 \sin^{2} (x)$ par $4 (1 - \cos^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 3.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 4

Soustrayez $1$ de $4$ .

$- 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 3 = 0$

Étape 5

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 2 u + 3 = 0$

Étape 6

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7

Remplacez les valeurs $a = - 4$ , $b = - 2$ et $c = 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot 3)}}{2 \cdot - 4}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 4 \cdot 3$ .

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Étape 8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

Étape 8.1.2.2

Multipliez $16$ par $3$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot - 4}$

Étape 8.1.3

Additionnez $4$ et $48$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot - 4}$

Étape 8.1.4

Réécrivez $52$ comme $2^{2} \cdot 13$ .

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Étape 8.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $52$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot - 4}$

Étape 8.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot - 4}$

Étape 8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot - 4}$

Étape 8.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{- 8}$

Étape 8.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{- 8}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{- 4}$

Étape 8.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{13}}{4}$

Étape 9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Étape 10

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Étape 11

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Étape 12

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$ .

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Étape 12.1

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 13

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$ .

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Étape 13.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{1 - \sqrt{13}}{4})$

Étape 13.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.1

Évaluez $\arccos (- \frac{1 - \sqrt{13}}{4})$ .

$x = 0.86138422$

Étape 13.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 0.86138422$

Étape 13.4

Résolvez $x$ .

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Étape 13.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 0.86138422$

Étape 13.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 0.86138422$ .

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Étape 13.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.86138422$

Étape 13.4.2.2

Soustrayez $0.86138422$ de $6.2831853$ .

$x = 5.42180108$

Étape 13.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 13.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 13.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 13.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 13.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 13.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.86138422 + 2 π n, 5.42180108 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.86138422 + 2 π n, 5.42180108 + 2 π n$ , pour tout entier $n$