Trigonométrie Exemples

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{10}$

Étape 1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\sin (θ) = \frac{opposé}{hypoténuse}$

Étape 2

Déterminez le côté adjacent du triangle du cercle unité. L’hypoténuse et le côté opposé étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Adjacent = - \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {opposé}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Adjacent = - \sqrt{{(10)}^{2} - {(- \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Inversez $\sqrt{{(10)}^{2} - {(- \sqrt{5})}^{2}}$ .

Adjacent $= - \sqrt{{(10)}^{2} - {(- \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= - \sqrt{100 - {(- \sqrt{5})}^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{5}$ .

Adjacent $= - \sqrt{100 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2})}$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

Adjacent $= - \sqrt{100 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{5}}^{2})}$

Étape 4.4.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 4.4.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

Adjacent $= - \sqrt{100 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{5}}^{2})}$

Étape 4.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Adjacent $= - \sqrt{100 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 4.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

Adjacent $= - \sqrt{100 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 4.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

Adjacent $= - \sqrt{100 - {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 4.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

Adjacent $= - \sqrt{100 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Adjacent $= - \sqrt{100 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

Adjacent $= - \sqrt{100 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

Adjacent $= - \sqrt{100 - 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

Adjacent $= - \sqrt{100 - 5}$

Étape 4.6.5

Évaluez l’exposant.

Adjacent $= - \sqrt{100 - 1 \cdot 5}$

Étape 4.7

Multipliez $- 1$ par $5$ .

Adjacent $= - \sqrt{100 - 5}$

Étape 4.8

Soustrayez $5$ de $100$ .

Adjacent $= - \sqrt{95}$

Étape 5

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{95}}{10}$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{95}}{10}$

Étape 6

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 6.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (θ) = \frac{- \sqrt{5}}{- \sqrt{95}}$

Étape 6.3

Simplifiez la valeur de $\tan (θ)$ .

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Étape 6.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{95}}$

Étape 6.3.2

Associez $\sqrt{5}$ et $\sqrt{95}$ en un radical unique.

$\tan (θ) = \sqrt{\frac{5}{95}}$

Étape 6.3.3

Annulez le facteur commun à $5$ et $95$ .

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Étape 6.3.3.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\tan (θ) = \sqrt{\frac{5 (1)}{95}}$

Étape 6.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $95$ .

$\tan (θ) = \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 19}}$

Étape 6.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\tan (θ) = \sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 19}}$

Étape 6.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\tan (θ) = \sqrt{\frac{1}{19}}$

Étape 6.3.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{19}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}}$

Étape 6.3.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{19}}$

Étape 6.3.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{19}}$ par $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{\sqrt{19}} \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$

Étape 6.3.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{19}}$ par $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19} \sqrt{19}}$

Étape 6.3.7.2

Élevez $\sqrt{19}$ à la puissance $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19} \sqrt{19}}$

Étape 6.3.7.3

Élevez $\sqrt{19}$ à la puissance $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19} \sqrt{19}}$

Étape 6.3.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{2}}$

Étape 6.3.7.6

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{2}$ comme $19$ .

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Étape 6.3.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{19}$ comme $19^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{{(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{19}$

Étape 6.3.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{19}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (θ) = \frac{- \sqrt{95}}{- \sqrt{5}}$

Étape 7.3

Simplifiez la valeur de $\cot (θ)$ .

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Étape 7.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{95}}{\sqrt{5}}$

Étape 7.3.2

Associez $\sqrt{95}$ et $\sqrt{5}$ en un radical unique.

$\cot (θ) = \sqrt{\frac{95}{5}}$

Étape 7.3.3

Divisez $95$ par $5$ .

$\cot (θ) = \sqrt{19}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (θ) = \frac{10}{- \sqrt{95}}$

Étape 8.3

Simplifiez la valeur de $\sec (θ)$ .

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Étape 8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec (θ) = - \frac{10}{\sqrt{95}}$

Étape 8.3.2

Multipliez $\frac{10}{\sqrt{95}}$ par $\frac{\sqrt{95}}{\sqrt{95}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{10}{\sqrt{95}} \cdot \frac{\sqrt{95}}{\sqrt{95}})$

Étape 8.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.3.1

Multipliez $\frac{10}{\sqrt{95}}$ par $\frac{\sqrt{95}}{\sqrt{95}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{10 \sqrt{95}}{\sqrt{95} \sqrt{95}}$

Étape 8.3.3.2

Élevez $\sqrt{95}$ à la puissance $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{10 \sqrt{95}}{\sqrt{95} \sqrt{95}}$

Étape 8.3.3.3

Élevez $\sqrt{95}$ à la puissance $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{10 \sqrt{95}}{\sqrt{95} \sqrt{95}}$

Étape 8.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (θ) = - \frac{10 \sqrt{95}}{{\sqrt{95}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{10 \sqrt{95}}{{\sqrt{95}}^{2}}$

Étape 8.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{95}}^{2}$ comme $95$ .

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Étape 8.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{95}$ comme $95^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{10 \sqrt{95}}{{(95^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{10 \sqrt{95}}{95^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{10 \sqrt{95}}{95^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (θ) = - \frac{10 \sqrt{95}}{95^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (θ) = - \frac{10 \sqrt{95}}{95}$

Étape 8.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sec (θ) = - \frac{10 \sqrt{95}}{95}$

Étape 8.3.4

Annulez le facteur commun à $10$ et $95$ .

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Étape 8.3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $10 \sqrt{95}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 (2 \sqrt{95})}{95}$

Étape 8.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $95$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 (2 \sqrt{95})}{5 (19)}$

Étape 8.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sec (θ) = - \frac{5 (2 \sqrt{95})}{5 \cdot 19}$

Étape 8.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{95}}{19}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (θ) = \frac{10}{- \sqrt{5}}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de $\csc (θ)$ .

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Étape 9.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (θ) = - \frac{10}{\sqrt{5}}$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{10}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Étape 9.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.3.1

Multipliez $\frac{10}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 9.3.3.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 9.3.3.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 9.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 9.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 9.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (θ) = - \frac{10 \sqrt{5}}{5}$

Étape 9.3.4

Annulez le facteur commun à $10$ et $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $10 \sqrt{5}$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5}$

Étape 9.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\csc (θ) = - \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5 (1)}$

Étape 9.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\csc (θ) = - \frac{5 (2 \sqrt{5})}{5 \cdot 1}$

Étape 9.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{1}$

Étape 9.3.4.2.4

Divisez $2 \sqrt{5}$ par $1$ .

$\csc (θ) = - (2 \sqrt{5})$

Étape 9.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\csc (θ) = - 2 \sqrt{5}$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{10}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{95}}{10}$

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{19}}{19}$

$\cot (θ) = \sqrt{19}$

$\sec (θ) = - \frac{2 \sqrt{95}}{19}$

$\csc (θ) = - 2 \sqrt{5}$