Trigonométrie Exemples

$\tan (0) = - (\frac{3}{4})$

Étape 1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\tan (0) = \frac{opposé}{adjacent}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse du triangle du cercle unité. Les côtés opposé et adjacent étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Hypoténuse = \sqrt{{opposé}^{2} + {adjacent}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Hypoténuse = \sqrt{{(\frac{3}{4})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

Hypoténuse $= \sqrt{\frac{3^{2}}{4^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{\frac{9}{4^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{\frac{9}{16} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{\frac{9}{16} + 1}$

Étape 4.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

Hypoténuse $= \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{16}{16}}$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Hypoténuse $= \sqrt{\frac{9 + 16}{16}}$

Étape 4.7

Additionnez $9$ et $16$ .

Hypoténuse $= \sqrt{\frac{25}{16}}$

Étape 4.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{25}{16}}$ comme $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}$ .

Hypoténuse $= \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}$

Étape 4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.9.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

Hypoténuse $= \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{16}}$

Étape 4.9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

Hypoténuse $= \frac{5}{\sqrt{16}}$

Étape 4.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.10.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

Hypoténuse $= \frac{5}{\sqrt{4^{2}}}$

Étape 4.10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

Hypoténuse $= \frac{5}{4}$

Étape 5

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (0)$ .

$\sin (0) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (0) = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}}$

Étape 5.3

Simplifiez la valeur de $\sin (0)$ .

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Étape 5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (0) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (0) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}$

Étape 5.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (0) = 3 (\frac{1}{5})$

Étape 5.3.3

Associez $3$ et $\frac{1}{5}$ .

$\sin (0) = \frac{3}{5}$

Étape 6

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 6.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (0)$ .

$\cos (0) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (0) = \frac{- 1}{\frac{5}{4}}$

Étape 6.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\cos (0) = - \frac{4}{5}$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $\frac{3}{4}$ .

$\tan (0) = - \frac{3}{4}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (0)$ .

$\cot (0) = \frac{adj}{opp}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (0) = \frac{- 1}{\frac{3}{4}}$

Étape 8.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\cot (0) = - \frac{4}{3}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (0)$ .

$\sec (0) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (0) = \frac{\frac{5}{4}}{- 1}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de $\sec (0)$ .

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Étape 9.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{5}{4}}{- 1}$ .

$\sec (0) = - 1 \cdot \frac{5}{4}$

Étape 9.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{5}{4}$ comme $- \frac{5}{4}$ .

$\sec (0) = - \frac{5}{4}$

Étape 10

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 10.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (0)$ .

$\csc (0) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 10.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (0) = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{3}{4}}$

Étape 10.3

Simplifiez la valeur de $\csc (0)$ .

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Étape 10.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\csc (0) = \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 10.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (0) = \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Étape 10.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (0) = 5 (\frac{1}{3})$

Étape 10.3.3

Associez $5$ et $\frac{1}{3}$ .

$\csc (0) = \frac{5}{3}$

Étape 11

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (0) = \frac{3}{5}$

$\cos (0) = - \frac{4}{5}$

$\tan (0) = - \frac{3}{4}$

$\cot (0) = - \frac{4}{3}$

$\sec (0) = - \frac{5}{4}$

$\csc (0) = \frac{5}{3}$