Trigonométrie Exemples

$\cos (- x) = - \frac{\sqrt{2}}{5}$

Étape 1

Use the opposite angle identity that states that $c o s (- x) = c o s (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{5}$

Étape 2

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\cos (x) = \frac{adjacent}{hypoténuse}$

Étape 3

Déterminez le côté opposé du triangle du cercle unité. Le côté adjacent et l’hypoténuse étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Opposé = \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {adjacent}^{2}}$

Étape 4

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Opposé = \sqrt{{(5)}^{2} - {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 5.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

Opposé $= \sqrt{25 - {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

Opposé $= \sqrt{25 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

Opposé $= \sqrt{25 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{2}}^{2})}$

Étape 5.3.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 5.3.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

Opposé $= \sqrt{25 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{2}}^{2})}$

Étape 5.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Opposé $= \sqrt{25 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

Opposé $= \sqrt{25 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

Opposé $= \sqrt{25 - {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

Opposé $= \sqrt{25 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Opposé $= \sqrt{25 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

Opposé $= \sqrt{25 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.4.1

Annulez le facteur commun.

Opposé $= \sqrt{25 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.5.4.2

Réécrivez l’expression.

Opposé $= \sqrt{25 - 2}$

Étape 5.5.5

Évaluez l’exposant.

Opposé $= \sqrt{25 - 1 \cdot 2}$

Étape 5.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

Opposé $= \sqrt{25 - 2}$

Étape 5.7

Soustrayez $2$ de $25$ .

Opposé $= \sqrt{23}$

Étape 6

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 6.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{23}}{5}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (x)$ .

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{23}}{- \sqrt{2}}$

Étape 7.3

Simplifiez la valeur de $\tan (x)$ .

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Étape 7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23}}{\sqrt{2}}$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (x) = - (\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 7.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 7.3.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 7.3.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 7.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 7.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 7.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 7.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23} \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23} \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{23 \cdot 2}}{2}$

Étape 7.3.4.2

Multipliez $23$ par $2$ .

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{46}}{2}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (x)$ .

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (x) = \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{23}}$

Étape 8.3

Simplifiez la valeur de $\cot (x)$ .

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Étape 8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{23}}$

Étape 8.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{23}}$ par $\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{23}}$ .

$\cot (x) = - (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{23}} \cdot \frac{\sqrt{23}}{\sqrt{23}})$

Étape 8.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{23}}$ par $\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{23}}$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{23}}{\sqrt{23} \sqrt{23}}$

Étape 8.3.3.2

Élevez $\sqrt{23}$ à la puissance $1$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{23}}{\sqrt{23} \sqrt{23}}$

Étape 8.3.3.3

Élevez $\sqrt{23}$ à la puissance $1$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{23}}{\sqrt{23} \sqrt{23}}$

Étape 8.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{23}}{{\sqrt{23}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{23}}{{\sqrt{23}}^{2}}$

Étape 8.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{23}}^{2}$ comme $23$ .

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Étape 8.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{23}$ comme $23^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{23}}{{(23^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{23}}{23^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{23}}{23^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{23}}{23^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{23}}{23}$

Étape 8.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{23}}{23}$

Étape 8.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{2 \cdot 23}}{23}$

Étape 8.3.4.2

Multipliez $2$ par $23$ .

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{46}}{23}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (x)$ .

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (x) = \frac{5}{- \sqrt{2}}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de $\sec (x)$ .

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Étape 9.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec (x) = - \frac{5}{\sqrt{2}}$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = - (\frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 9.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.3.1

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 9.3.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 9.3.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 9.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 9.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 9.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Étape 10

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 10.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (x)$ .

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 10.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (x) = \frac{5}{\sqrt{23}}$

Étape 10.3

Simplifiez la valeur de $\csc (x)$ .

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Étape 10.3.1

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{23}}$ par $\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{23}}$ .

$\csc (x) = \frac{5}{\sqrt{23}} \cdot \frac{\sqrt{23}}{\sqrt{23}}$

Étape 10.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.3.2.1

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{23}}$ par $\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{23}}$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{\sqrt{23} \sqrt{23}}$

Étape 10.3.2.2

Élevez $\sqrt{23}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{\sqrt{23} \sqrt{23}}$

Étape 10.3.2.3

Élevez $\sqrt{23}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{\sqrt{23} \sqrt{23}}$

Étape 10.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{{\sqrt{23}}^{1 + 1}}$

Étape 10.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{{\sqrt{23}}^{2}}$

Étape 10.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{23}}^{2}$ comme $23$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{23}$ comme $23^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{{(23^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 10.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{23^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 10.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{23^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{23^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{23}$

Étape 10.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{23}$

Étape 11

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{23}}{5}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{5}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{46}}{2}$

$\cot (x) = - \frac{\sqrt{46}}{23}$

$\sec (x) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

$\csc (x) = \frac{5 \sqrt{23}}{23}$