Trigonométrie Exemples

$\tan (x) = \frac{7}{\sqrt{15}}$

Étape 1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\tan (x) = \frac{opposé}{adjacent}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse du triangle du cercle unité. Les côtés opposé et adjacent étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Hypoténuse = \sqrt{{opposé}^{2} + {adjacent}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Hypoténuse = \sqrt{{(7)}^{2} + {(\sqrt{15})}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{49 + {(\sqrt{15})}^{2}}$

Étape 4.2

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

Hypoténuse $= \sqrt{49 + {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Hypoténuse $= \sqrt{49 + 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{49 + 15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

Hypoténuse $= \sqrt{49 + 15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

Hypoténuse $= \sqrt{49 + 15}$

Étape 4.2.5

Évaluez l’exposant.

Hypoténuse $= \sqrt{49 + 15}$

Étape 4.3

Additionnez $49$ et $15$ .

Hypoténuse $= \sqrt{64}$

Étape 4.4

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

Hypoténuse $= \sqrt{8^{2}}$

Étape 4.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

Hypoténuse $= 8$

Étape 5

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (x) = \frac{7}{8}$

Étape 6

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 6.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{15}}{8}$

Étape 7

Simplifiez la valeur de $t a n g e n t$ .

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{7}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\tan (x) = \frac{7}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Étape 7.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{7}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\tan (x) = \frac{7 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 7.2.2

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) = \frac{7 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 7.2.3

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) = \frac{7 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 7.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (x) = \frac{7 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Étape 7.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (x) = \frac{7 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 7.2.6

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 7.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \frac{7 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \frac{7 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (x) = \frac{7 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) = \frac{7 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (x) = \frac{7 \sqrt{15}}{15}$

Étape 7.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (x) = \frac{7 \sqrt{15}}{15}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (x)$ .

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{15}}{7}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (x)$ .

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (x) = \frac{8}{\sqrt{15}}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de $\sec (x)$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $\frac{8}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\sec (x) = \frac{8}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Étape 9.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $\frac{8}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\sec (x) = \frac{8 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 9.3.2.2

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) = \frac{8 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 9.3.2.3

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) = \frac{8 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Étape 9.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (x) = \frac{8 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (x) = \frac{8 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Étape 9.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 9.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = \frac{8 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \frac{8 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sec (x) = \frac{8 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (x) = \frac{8 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (x) = \frac{8 \sqrt{15}}{15}$

Étape 9.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sec (x) = \frac{8 \sqrt{15}}{15}$

Étape 10

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 10.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (x)$ .

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 10.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (x) = \frac{8}{7}$

Étape 11

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (x) = \frac{7}{8}$

$\cos (x) = \frac{\sqrt{15}}{8}$

$\tan (x) = \frac{7 \sqrt{15}}{15}$

$\cot (x) = \frac{\sqrt{15}}{7}$

$\sec (x) = \frac{8 \sqrt{15}}{15}$

$\csc (x) = \frac{8}{7}$