Trigonométrie Exemples

$\tan (x) = \frac{2 \sqrt{14}}{13}$

Étape 1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\tan (x) = \frac{opposé}{adjacent}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse du triangle du cercle unité. Les côtés opposé et adjacent étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Hypoténuse = \sqrt{{opposé}^{2} + {adjacent}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Hypoténuse = \sqrt{{(2 \sqrt{14})}^{2} + {(13)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{14}$ .

Hypoténuse $= \sqrt{2^{2} {\sqrt{14}}^{2} + {(13)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{4 {\sqrt{14}}^{2} + {(13)}^{2}}$

Étape 4.3

Réécrivez ${\sqrt{14}}^{2}$ comme $14$ .

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Étape 4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{14}$ comme $14^{\frac{1}{2}}$ .

Hypoténuse $= \sqrt{4 {(14^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(13)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Hypoténuse $= \sqrt{4 \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(13)}^{2}}$

Étape 4.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{4 \cdot 14^{\frac{2}{2}} + {(13)}^{2}}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

Hypoténuse $= \sqrt{4 \cdot 14^{\frac{2}{2}} + {(13)}^{2}}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

Hypoténuse $= \sqrt{4 \cdot 14 + {(13)}^{2}}$

Étape 4.3.5

Évaluez l’exposant.

Hypoténuse $= \sqrt{4 \cdot 14 + {(13)}^{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $4$ par $14$ .

Hypoténuse $= \sqrt{56 + {(13)}^{2}}$

Étape 4.5

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{56 + 169}$

Étape 4.6

Additionnez $56$ et $169$ .

Hypoténuse $= \sqrt{225}$

Étape 4.7

Réécrivez $225$ comme $15^{2}$ .

Hypoténuse $= \sqrt{15^{2}}$

Étape 4.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

Hypoténuse $= 15$

Étape 5

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (x) = \frac{2 \sqrt{14}}{15}$

Étape 6

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 6.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (x) = \frac{13}{15}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (x)$ .

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (x) = \frac{13}{2 \sqrt{14}}$

Étape 7.3

Simplifiez la valeur de $\cot (x)$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $\frac{13}{2 \sqrt{14}}$ par $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$\cot (x) = \frac{13}{2 \sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$

Étape 7.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.2.1

Multipliez $\frac{13}{2 \sqrt{14}}$ par $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$\cot (x) = \frac{13 \sqrt{14}}{2 \sqrt{14} \sqrt{14}}$

Étape 7.3.2.2

Déplacez $\sqrt{14}$ .

$\cot (x) = \frac{13 \sqrt{14}}{2 (\sqrt{14} \sqrt{14})}$

Étape 7.3.2.3

Élevez $\sqrt{14}$ à la puissance $1$ .

$\cot (x) = \frac{13 \sqrt{14}}{2 (\sqrt{14} \sqrt{14})}$

Étape 7.3.2.4

Élevez $\sqrt{14}$ à la puissance $1$ .

$\cot (x) = \frac{13 \sqrt{14}}{2 (\sqrt{14} \sqrt{14})}$

Étape 7.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cot (x) = \frac{13 \sqrt{14}}{2 {\sqrt{14}}^{1 + 1}}$

Étape 7.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot (x) = \frac{13 \sqrt{14}}{2 {\sqrt{14}}^{2}}$

Étape 7.3.2.7

Réécrivez ${\sqrt{14}}^{2}$ comme $14$ .

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Étape 7.3.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{14}$ comme $14^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (x) = \frac{13 \sqrt{14}}{2 {(14^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.3.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = \frac{13 \sqrt{14}}{2 \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.3.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cot (x) = \frac{13 \sqrt{14}}{2 \cdot 14^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (x) = \frac{13 \sqrt{14}}{2 \cdot 14^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (x) = \frac{13 \sqrt{14}}{2 \cdot 14}$

Étape 7.3.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$\cot (x) = \frac{13 \sqrt{14}}{2 \cdot 14}$

Étape 7.3.3

Multipliez $2$ par $14$ .

$\cot (x) = \frac{13 \sqrt{14}}{28}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (x)$ .

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (x) = \frac{15}{13}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (x)$ .

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (x) = \frac{15}{2 \sqrt{14}}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de $\csc (x)$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $\frac{15}{2 \sqrt{14}}$ par $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$\csc (x) = \frac{15}{2 \sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$

Étape 9.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $\frac{15}{2 \sqrt{14}}$ par $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}}$ .

$\csc (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{2 \sqrt{14} \sqrt{14}}$

Étape 9.3.2.2

Déplacez $\sqrt{14}$ .

$\csc (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{2 (\sqrt{14} \sqrt{14})}$

Étape 9.3.2.3

Élevez $\sqrt{14}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{2 (\sqrt{14} \sqrt{14})}$

Étape 9.3.2.4

Élevez $\sqrt{14}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{2 (\sqrt{14} \sqrt{14})}$

Étape 9.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{2 {\sqrt{14}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{2 {\sqrt{14}}^{2}}$

Étape 9.3.2.7

Réécrivez ${\sqrt{14}}^{2}$ comme $14$ .

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Étape 9.3.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{14}$ comme $14^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{2 {(14^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{2 \cdot 14^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{2 \cdot 14^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{2 \cdot 14^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{2 \cdot 14}$

Étape 9.3.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{2 \cdot 14}$

Étape 9.3.3

Multipliez $2$ par $14$ .

$\csc (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{28}$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (x) = \frac{2 \sqrt{14}}{15}$

$\cos (x) = \frac{13}{15}$

$\tan (x) = \frac{2 \sqrt{14}}{13}$

$\cot (x) = \frac{13 \sqrt{14}}{28}$

$\sec (x) = \frac{15}{13}$

$\csc (x) = \frac{15 \sqrt{14}}{28}$