Trigonométrie Exemples

$\sqrt{\frac{34 - 3 \sqrt{34}}{1 + 3 \sqrt{34}}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{34 - 3 \sqrt{34}}{1 + 3 \sqrt{34}}$ par $\frac{1 - 3 \sqrt{34}}{1 - 3 \sqrt{34}}$ .

$\sqrt{\frac{34 - 3 \sqrt{34}}{1 + 3 \sqrt{34}} \cdot \frac{1 - 3 \sqrt{34}}{1 - 3 \sqrt{34}}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{34 - 3 \sqrt{34}}{1 + 3 \sqrt{34}}$ par $\frac{1 - 3 \sqrt{34}}{1 - 3 \sqrt{34}}$ .

$\sqrt{\frac{(34 - 3 \sqrt{34}) (1 - 3 \sqrt{34})}{(1 + 3 \sqrt{34}) (1 - 3 \sqrt{34})}}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\sqrt{\frac{(34 - 3 \sqrt{34}) (1 - 3 \sqrt{34})}{1 - 3 \sqrt{34} + 3 \sqrt{34} - 9 {\sqrt{34}}^{2}}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\sqrt{\frac{(34 - 3 \sqrt{34}) (1 - 3 \sqrt{34})}{- 305}}$

Étape 3

Développez $(34 - 3 \sqrt{34}) (1 - 3 \sqrt{34})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{34 (1 - 3 \sqrt{34}) - 3 \sqrt{34} (1 - 3 \sqrt{34})}{- 305}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{34 \cdot 1 + 34 (- 3 \sqrt{34}) - 3 \sqrt{34} (1 - 3 \sqrt{34})}{- 305}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{34 \cdot 1 + 34 (- 3 \sqrt{34}) - 3 \sqrt{34} \cdot 1 - 3 \sqrt{34} (- 3 \sqrt{34})}{- 305}}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $34$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{34 + 34 (- 3 \sqrt{34}) - 3 \sqrt{34} \cdot 1 - 3 \sqrt{34} (- 3 \sqrt{34})}{- 305}}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 3$ par $34$ .

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} \cdot 1 - 3 \sqrt{34} (- 3 \sqrt{34})}{- 305}}$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} (- 3 \sqrt{34})}{- 305}}$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 3 \sqrt{34} (- 3 \sqrt{34})$ .

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Étape 4.1.4.1

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 9 \sqrt{34} \sqrt{34}}{- 305}}$

Étape 4.1.4.2

Élevez $\sqrt{34}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 9 ({\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34})}{- 305}}$

Étape 4.1.4.3

Élevez $\sqrt{34}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 9 ({\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1})}{- 305}}$

Étape 4.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 9 {\sqrt{34}}^{1 + 1}}{- 305}}$

Étape 4.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 9 {\sqrt{34}}^{2}}{- 305}}$

Étape 4.1.5

Réécrivez ${\sqrt{34}}^{2}$ comme $34$ .

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Étape 4.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{34}$ comme $34^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 9 {(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 305}}$

Étape 4.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 9 \cdot 34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 305}}$

Étape 4.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 9 \cdot 34^{\frac{2}{2}}}{- 305}}$

Étape 4.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 9 \cdot 34^{\frac{2}{2}}}{- 305}}$

Étape 4.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 9 \cdot 34^{1}}{- 305}}$

Étape 4.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 9 \cdot 34}{- 305}}$

Étape 4.1.6

Multipliez $9$ par $34$ .

$\sqrt{\frac{34 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34} + 306}{- 305}}$

Étape 4.2

Additionnez $34$ et $306$ .

$\sqrt{\frac{340 - 102 \sqrt{34} - 3 \sqrt{34}}{- 305}}$

Étape 4.3

Soustrayez $3 \sqrt{34}$ de $- 102 \sqrt{34}$ .

$\sqrt{\frac{340 - 105 \sqrt{34}}{- 305}}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $340 - 105 \sqrt{34}$ et $- 305$ .

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Étape 5.1

Factorisez $5$ à partir de $340$ .

$\sqrt{\frac{5 (68) - 105 \sqrt{34}}{- 305}}$

Étape 5.2

Factorisez $5$ à partir de $- 105 \sqrt{34}$ .

$\sqrt{\frac{5 (68) + 5 (- 21 \sqrt{34})}{- 305}}$

Étape 5.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (68) + 5 (- 21 \sqrt{34})$ .

$\sqrt{\frac{5 (68 - 21 \sqrt{34})}{- 305}}$

Étape 5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 305$ .

$\sqrt{\frac{5 (68 - 21 \sqrt{34})}{5 \cdot - 61}}$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{5 (68 - 21 \sqrt{34})}{5 \cdot - 61}}$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{68 - 21 \sqrt{34}}{- 61}}$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt{- \frac{68 - 21 \sqrt{34}}{61}}$

Étape 6.2

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{68 - 21 \sqrt{34}}{61}}$

Étape 7

Extrayez les termes de sous le radical.

$i \sqrt{\frac{68 - 21 \sqrt{34}}{61}}$

Étape 8

Réécrivez $\sqrt{\frac{68 - 21 \sqrt{34}}{61}}$ comme $\frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}}}{\sqrt{61}}$ .

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}}}{\sqrt{61}}$

Étape 9

Multipliez $\frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}}}{\sqrt{61}}$ par $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$i (\frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}}}{\sqrt{61}} \cdot \frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}})$

Étape 10

Simplifiez les termes.

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Étape 10.1

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}}}{\sqrt{61}}$ par $\frac{\sqrt{61}}{\sqrt{61}}$ .

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}} \sqrt{61}}{\sqrt{61} \sqrt{61}}$

Étape 10.1.2

Élevez $\sqrt{61}$ à la puissance $1$ .

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}} \sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} \sqrt{61}}$

Étape 10.1.3

Élevez $\sqrt{61}$ à la puissance $1$ .

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}} \sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1} {\sqrt{61}}^{1}}$

Étape 10.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}} \sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{1 + 1}}$

Étape 10.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}} \sqrt{61}}{{\sqrt{61}}^{2}}$

Étape 10.1.6

Réécrivez ${\sqrt{61}}^{2}$ comme $61$ .

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Étape 10.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{61}$ comme $61^{\frac{1}{2}}$ .

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}} \sqrt{61}}{{(61^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 10.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}} \sqrt{61}}{61^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 10.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}} \sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}} \sqrt{61}}{61^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}} \sqrt{61}}{61^{1}}$

Étape 10.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$i \frac{\sqrt{68 - 21 \sqrt{34}} \sqrt{61}}{61}$

Étape 10.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$i \frac{\sqrt{(68 - 21 \sqrt{34}) \cdot 61}}{61}$

Étape 10.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{(68 - 21 \sqrt{34}) \cdot 61}}{61}$ .

$\frac{i \sqrt{(68 - 21 \sqrt{34}) \cdot 61}}{61}$

Étape 11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{i \sqrt{68 \cdot 61 - 21 \sqrt{34} \cdot 61}}{61}$

Étape 11.2

Multipliez $68$ par $61$ .

$\frac{i \sqrt{4148 - 21 \sqrt{34} \cdot 61}}{61}$

Étape 11.3

Multipliez $61$ par $- 21$ .

$\frac{i \sqrt{4148 - 1281 \sqrt{34}}}{61}$