Trigonométrie Exemples

\sin (\frac{π}{12})

$\sin (\frac{π}{12})$

Étape 1

Commencez par diviser l’angle en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues. Dans ce cas,

\frac{π}{12}

$\frac{π}{12}$ peut être divisé en

\frac{π}{3} - \frac{π}{4}

$\frac{π}{3} - \frac{π}{4}$ .

\sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})

$\sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})$

Étape 2

Utilisez la formule de la différence pour le sinus pour simplifier l’expression. La formule stipule que

\sin (A - B) = \sin (A) \cos (B) - \cos (A) \sin (B)

$\sin (A - B) = \sin (A) \cos (B) - \cos (A) \sin (B)$ .

\sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})

$\sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 3

Supprimez les parenthèses.

\sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})

$\sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

La valeur exacte de

\sin (\frac{π}{3})

$\sin (\frac{π}{3})$ est

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.2

La valeur exacte de

\cos (\frac{π}{4})

$\cos (\frac{π}{4})$ est

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.3

Multipliez

\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ par

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.3.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})

$\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.3.3

Multipliez

3

$3$ par

2

$2$ .

\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.3.4

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

\frac{\sqrt{6}}{4} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

\frac{\sqrt{6}}{4} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.4

La valeur exacte de

\cos (\frac{π}{3})

$\cos (\frac{π}{3})$ est

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.5

La valeur exacte de

\sin (\frac{π}{4})

$\sin (\frac{π}{4})$ est

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4.6

Multipliez

- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.6.1

Multipliez

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.6.2

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Forme décimale :

0.25881904 \dots

$0.25881904 \dots$