Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{\sqrt{2} + \sec (x)}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{\sqrt{2} + \sec (x)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{2} + \sec (x) = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $\sqrt{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Étape 2.2

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

La valeur exacte de $arcsec (- \sqrt{2})$ est $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.4

La fonction sécante est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Étape 2.5

Simplifiez $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 2.5.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 2.5.2

Associez les fractions.

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Étape 2.5.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Étape 2.5.3.2

Soustrayez $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 2.6

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

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Étape 2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.7

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Définissez l’argument dans $\sec (x)$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq \frac{3 π}{4} + 2 π n, x \neq \frac{5 π}{4} + 2 π n, x \neq \frac{π}{2} + π n}$ , pour tout entier $n$

Étape 5