Trigonométrie Exemples

$r^{2} = - 4 \cos (2 x)$

Étape 1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$r = \pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$

Étape 2

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $- 4 \cos (2 x)$ comme $2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$r = \pm \sqrt{4 (- 1) \cos (2 x)}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot - 1 \cos (2 x)}$

Étape 2.1.3

Ajoutez des parenthèses.

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))}$

Étape 2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = \pm 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Étape 3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Étape 3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Étape 3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Étape 4

Définissez le radicande dans $\sqrt{- 1 \cos (2 x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- 1 \cos (2 x) \geq 0$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- 1 \cos (2 x) \geq 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $- 1 \cos (2 x) \geq 0$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 1 \cos (2 x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (2 x)}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 5.1.2.2

Divisez $\cos (2 x)$ par $1$ .

$\cos (2 x) \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$\cos (2 x) \leq 0$

Étape 5.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x \leq \arccos (0)$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$2 x \leq \frac{π}{2}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $2 x \leq \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x \leq \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x \leq \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 5.4.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.4.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x \leq \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 5.4.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x \leq \frac{π}{4}$

Étape 5.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 5.6

Résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Simplifiez

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Étape 5.6.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.6.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.6.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 5.6.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 5.6.1.5

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Étape 5.6.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.6.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 5.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 5.6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 5.6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 5.6.2.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.6.2.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 5.6.2.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 5.7

Déterminez la période de $\cos (2 x)$ .

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Étape 5.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.7.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 5.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 5.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 5.7.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 5.8

La période de la fonction $\cos (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 5.10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

Étape 5.11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 5.11.1.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$- 1 \cos (2 (2)) \geq 0$

Étape 5.11.1.3

Le côté gauche $0.65364362$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 5.11.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$- 1 \cos (2 (3)) \geq 0$

Étape 5.11.2.3

Le côté gauche $- 0.96017028$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.11.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ Vrai

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Faux

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ Vrai

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Faux

Étape 5.12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{π}{4} + π n \leq x \leq \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x = \frac{π}{4} + π n, x = \frac{3 π}{4} + π n}$

Étape 7